离散数学复习笔记

数理逻辑

逻辑：以研究人的思维形式及思维规律为目的的一门学科


数理逻辑：利用数学符号来协助推理的一门形式逻辑学


命题：能表达判断并具有确定真值的陈述句


真值：每个命题都具有的一个值，要么为真，要么为假，不能随着环境变化


原子命题：不能再分解的命题


复合命题：由原子命题符号及联结词组成的有意义的命题表达式
否定非P 合取P而且Q  析取P可兼或Q 排斥析取P不可兼或Q 单条件若P则Q 双条件P当且仅当Q


命题公式：满足特定条件的合法的命题表达式


分量：命题公式中的原子命题


翻译：将自然语言转化为数理逻辑语言


真值表：对一个命题公式而言，将对于其分量的各种可能的真值指派汇聚成的表


两个命题等价：对两个命题公式A,B,若对于A\B中的所有命题变元P1\P2..对天安门的任一组真值指派A，B相同对应的行的真值相同，则称A与B等价


等价定律：交换律，结合律，分配律，摩根律，否定律，同一律


重言式：永真式，无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于T的命题公式


永假式：无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于F的命题公式
用一个命题公式代替重言式中同一个分量，依然为重言式


蕴含式：若A->B永真则称A蕴含B，记做A=>B
原命题等价于它的逆否命题
三个性质：传递性，A=>B A=>C A=>(B^C)， A=>B C=>B AvC=>B


有效结论：H1，H2、、、、Hn，C为一组命题公式，若H1^H2^...^Hn=>C,称C是一组条件下的有效结论
三种方法：真值表法，直接证法，间接证法


其他连接词：条件否定，与非，或非


规范命题表达式：只含非且或
合取范氏：当且仅当具有A1^A2^...^An形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的析取式
析取范式：当且仅当具有A1vA2v...vAn形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的合取式
一个命题公式的合取范氏或析取范氏并不是唯一的


n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 P^Q P^非Q
一般n个命题变元共有2^n个小项


n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 PvQ Pv非Q


主析取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则称该等价式为原式的主析取范式


主合取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则称该等价式为原式的主合取范式

集合论

集合：满足一定特征的对象的全体


扩张原则：两个集合相等，当且仅当他们有相同的元素
抽象原则：任给一个集合U和一个性质P，存在一个集合A，使得A的各个元素恰好是U的具有性质P的那些成员


集合表示：列举法，特征法


幂集：对给定的集合A，称以A的全体子集为元素的集合为A的幂集


集合的基数：|A|元素的个数


无限集合：元素个数能与某个真子集一一对应的集合


序偶：有序的二元数组


笛卡尔积：称A*B={|x属于A且y属于B}


二元关系：以序偶作为元素的集合即关系xRy，关系前域指x，关系值域指y，关系域是前域和值域的并集。两集合A与B的笛卡尔积的任一子集，称为A到B的一个关系，若A=B，则称该子集为A上的一个关系
关系表示：集合表示法，关系矩阵法，关系图表示法


关系性质：
自反关系（x属于X，属于R），反自反关系（x属于X，不属于R）【存在既不反自反也不自反的关系】
对称性 x，y属于X，且属于R，则属于R，反对称关系x属于X，y属于X，且属于R，属于R，则x=y【存在既对称又反对称的关系，存在既不对称又不反对称的关系】
传递性 x,y,z属于X，且都属于R，则属于R


复合关系:属于R,属于S，则属于R复合S
逆关系: {|属于R,x属于X,y属于Y}


闭包运算：通过往已知关系中添加序偶让它达到某种要求的运算，叫闭包运算


覆盖：A为非空集合，S={s1,s2...sm}其中Si属于A，且S的并集为A，则S是A的一个覆盖


划分：若对一个覆盖而言，S任意两个子集的交集为空，则称S是A的一个划分
注：两划分的交叉划分也是原集合A的一个划分
交叉划分是原两划分的加细


等价关系：同时具备自反，对称和传递三个性质的关系即等价关系
等价类：A上的等价关系R，A中的任意a，x属于A，属于R，为元素a生成的R等价类


商集：若R是A上的一个等价关系，则称以A的所有等价类为元素的集合为A关于R的商集，为A/R
定理：A上的一个等价关系R确定了A的一个划分A/R
A上的一个划分也能确定A上的一个等价关系
A上的两个等价关系R1，R2，则成立 A/R1=A/R2等价于 R1=R2
A上的等价关系与划分是一一对应的


相容关系：给定集合A上的关系r，若r是自反的、对称的、则称r是相容关系
最大相容类：设r是集合A上的相容关系，不能真包含在任何其他相容类中的相容类，称作最大相容类
在相容关系图中，最大完全多边形的顶点集合，就是最大相容类
定理：设r是有限集合A上的相容关系，C是一个相容类，那么必存在一个最大相容类Cr，使得C属于Cr
在集合A上给定相容关系r，其最大相容类的集合称作集合A的完全覆盖，记为Cr(A)


偏序关系：A上的关系R，同时满足自反，反对称，传递三个性质，则称R为偏序关系
链与反链：一个元素构成的子集，既是链，又是反链


全序关系：在偏序集A中，如果对任意的x,y属于A，x*y y*x必有一个成立，则称A为全序集合或线序集合，而称关系为全序关系或线序关系


极大元，极小元必然存在，极大元，极小元可以不唯一。若B有最大元，则它们必然唯一


良序关系：偏序集A，若B属于A，B中总有最小元，则称A是良序集
良序集一定是全序集，有限元素的全序集一定是良序集


函数性质：入射（单射） x1和x2不等， 函数值不等
满射：对任意y属于Y，存在x属于X，使得y为x的函数
双射：既是入射又是满射的函数


逆函数：若f x->y 的双射,则 逆函数是y->x 的双射
复合函数： g*f 属于f 属于g g在f的左可复合函数
令g*f 是个复合函数 若g和f是满射，则g*f是满射 若g和f是入射，则g*f是入射，都是双射，g*f是双射

图论

图的定义：平面上由一些点和连接两点之间的连线构成的图形
有向图-每条边都有方向的图，无向图-每条边都没有方向的图，混合图-既有有向边又有无向边的图
点边关联，点点（边边）邻接（相邻） 结点v的度-v关联的边数（环在算度数时，规定按两次计），所有结点的度数和=边数x2
空图：没有边的图，平凡图：一个点的空图，有向图的出入度，奇偶点：度为奇偶数的点


图的基本定理
1、无向图的度为边数的两倍
2、图的奇点个数一定为偶数，若不包含重边，也不含环，则称G为简单图
完全图：任两结点之间有且仅有一条边相连的n个结点的图
有向完全图：完全图每条边上任意添加一个方向


同构：两个图若存在一个映射 ，点到点，边和边也映射，则两个图同构
必要条件：结点数目相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，与同度点相邻的点的度数应对应相同


补图：两个图点和边相互补充
子图：点和边都属于另一个图的子集，真子图：点或边不全包含


路与回路
路的长度：路经过的边的次数， 路，迹，通路，回路，闭迹，圈
定理：n个结点的图当中存在长为l的路，那么G中必存在长度小于等于n-1的路
两点连通：两点之间有路相连，连通是等价关系，确定V的一个划分，诱导子图为G的连通分支
删除某点和边不连通，但删除这些点或边的子集依然连通，也就是必须要删除的点和边
一个点的点割集叫做割点，一条边的边割集叫做割边，也叫做桥，点连通度是最小的点割集数目，边连通度是最小的边割集数目，完全图的连通程度最强，都为N-1


欧拉图
1、欧拉回路：经过G中每条边一次且仅一次的回路
2、欧拉图：含有欧拉回路的图
3、欧拉图充要条件：G无孤立点，那么G是欧拉图【G连通且无奇点】


汉密尔顿图
1、汉密尔顿圈：经过图G中每个点一次且仅一次的圈
2、汉密尔顿图：含有汉密尔顿圈的图，至今无充分必要条件
3、闭包：简单图G是汉密尔顿图等价于它的闭包是也是汉密尔顿图


平面图
1、平面：边与边除了在结点处相交外再无其他交点的，可以画在平面上的一幅图
2、平面图：经过某种画法可以把它画成平图的一幅图
3、把平面图画成平图的过程为图的平面嵌入


连通平面图
面：点边围成的封闭区域f，且f中不含其它点，边
面的次：围成一个面经过的边的次数
欧拉公式：对连通平面图G=, 则v-e+r=2。如果图不连通，则有v-e+r=1+W(G)
kuratowaski定理：G是平面图等价于它不含在2度结点内与K5或者K3,3同构的子图


对偶图
1、对偶图：把S中的边对应成S'中的顶点
2、自对偶图：若图G的对偶图恰与G同构，则称图G是一个自对偶图
3、性质：平面图的对偶图还是平面图，平面图的对偶图一定是连通的
平面图的面着色问题--对偶图的点着色问题--普通图的点着色问题


线图
1、以原图的边作为新结点，两个新点之间有边相连当且仅当原来两条边在原图中相邻，这样得到的图为线图
边着色问题--线图的点着色问题


树
1、树：连通的无圈图
2、森林：无圈图
任意一棵树的着色数为2，因为树都是二部图
3、生成树：作为图G的支撑子图的一棵树，任一连通图都至少有一棵生成树
4、带权图：每条边上都带有一个给定权值的图
5、最小生成树：边权和最小的生成树，不唯一
6、有向树：在不考虑边上方向时为一棵树的有向图
7、根树：一棵恰有一个结点的入度为0，其余结点的入度为1的有向树
8、有序树：结点间拥有顺序的根树，任意一棵有序树都可以改写成一棵对应的二叉树
9、m叉树，完全m叉树：同二叉树
10、通路长度：根树中，从根结点到某个结点的通路经过的边数称为此结点的通路长度
11、带权二叉树：每片树叶i都带权值wi的二叉树
12、最优二叉树必是完全二叉树

代数系统

1、n元运算符：A，B为给定的集合，A^n->B为A上的一个n元运算
2、代数系统：非空集合A，以及定义在其上的若干运算，就称为一个代数系统，如果一个运算在A上满足封闭性，针对A中的两个元素，运算结果也属于A
3、幺元：e*a=a e左幺元 a*e=a 右幺元 如果A中同时存在左幺元和右幺元，则必存在幺元
4、零元：q*a=q a*q=q 左右零元 同时存在左零元和右零元，则存在零元
5、逆元：a*b=e b为a的右逆元，b*a=e b为a的左逆元 a*b=b*a=e b为a的逆元


半群
1、广群：代数系统称为广群，若*在A上满足封闭性
2、半群：为半群，若满足封闭性和可结合性
3、子半群：是半群，是半群，B属于S，称是的子半群
4、独异点：含有幺元的半群称为独异点，设是一个独异点，则在它的乘法表中任何两行或任何两列都是不相同的，设是一个独异点，在S中任取两个元素a和b，如果a和b都有逆元，那么a*b也必有逆元




群与子群
1、群：设是一个代数系统，*是G上的二元运算，如果*在G上是封闭的并且是可结合性的，存在幺元，每个元素的逆元也存在于G中，称代数系统为一个群
2、有限群：设是一个群，如果G是一个有限集，则称是一个有限集，如果G是一个无限集，则称是一个无限群
3、子群：是一个群，B是G的非空子集，也作成一个群，称是的子群
4、群的性质：
每个元素的逆元唯一
若|G|>1，则G中无零元
群中满足消去律
子群与原群具有相同的幺元
5、非空子集成为子群的两个充分条件
-设群,B是G的一个非空子集，满足B是有限集，*在B中满足封闭性，则必为的子群
-设是一个群，S是G的一个非空子集，如果对S中任何元素a,b，都有a*b逆属于S，那么必为的子群


阿贝尔群
1、定义：是一个群，如果群中的运算*还满足交换律，即对任何两个元素x,y属于G，都有x*y=y*x,则称为一个阿贝尔群
2、定理：是群，那么它是交换群的充要条件是，任意a,b 
(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)


循环群
1、定义：是一个群，如果群G中存在一个元素a，使得G中任何元素都可以表示成元素a的整数幂，则称是一个循环群，元素a称为循环群中的一个生成元
2、性质：任何循环群必为阿贝尔群，一般说来，阿贝尔群未必是循环群
3、群的元素的阶：设是一个群，a是群G中任一个元素，如果有正整数r存在使得a^r=e成立，对任何小于r的正整数m，a^m=e皆不成立，则称a是一个有限阶元素，并称该元素的阶位r

 

 

北航离散复习笔记

 

 

 

第二章 谓词逻辑
1、项：用于表达个体的符号串，相当于汉语中的名词
2、公式：用于表达命题的符号串，相当于汉语中的句子
3、使用符号：个体变元【变元】，个体常元【常元】，函数符号，谓词符号，量词符号，联结词符号，圆括号和逗号
4、若公式B是公式A的子串，则称B为A的子公式，每个原子公式仅有的子公式是它自己
5、不出现变元的项称为基项，也称为闭项，没有自由变元的公式称为语句，也称为闭公式。没有约束变元的公式称为开公式
6、论域也称为个体域
7、永真式：A在每个解释中为真，永假式类似(矛盾式，不可满足式)
8、重言式：用谓词逻辑公式分别同时替换命题逻辑公式A中的不同命题变元得到的谓词逻辑公式。命题逻辑永真式的替换实例称为重言式
9、重言式一定是永真式，永真式未必是重言式，永真式都是可满足式，可满足式未必是永真式

第三章 公理系统
1、定义：指从事先给定的公里出发，根据推理规则推导出一系列定理，由此而形成的演绎系统
2、组成：符号集，公式集，公理集，推理规则集，定理集
3、性质：可靠性【只要公设都真，每个定理就真】，完备性【公设集的每个逻辑推论都是公理系统的定理】，协调性，独立性

第四章 归结法原理
1、文字的有穷集合称为子句，不包含任何文字的子句称为空子句
2、如果真值赋值v满足子句集S中的每个子句，则称v满足S，如果至少有一个真值赋值满足子句集S，则称S是可满足的，否则S是不可满足的
3、如果一个文字恰为另一个文字的否定，则称它们为相反的文字。L1，L2是相反的文字，C1，C2是子句，称C11-{L1} U  C2-{L2}为C1和C2的归结子句
4、若C是C1，C2的归结子句，则C是C1，C2的逻辑推论
5、子句集S是不可满足的当且仅当存在S的反驳
6、前束范式形式Q1v1...QvnB,Q1v1...Qnvn为该前束范式的前束词，称B为它的母式
7、不出现存在量词存在的前束范式称为无 存在 前束范式
8、若B是前束范式A的无存在 前束范式，则A不可满足当且仅当B不可满足
9、不出现变元的文字称为基文字，基文字的有穷集合称为基子句
10、如果解释I满足子句集S中的每个子句，则称I满足S，如果至少有一个解释满足子句集S，则称S是可满足的，否则S为不可满足的

第五章 集合的基本概念和运算
1、集合：人们直观上或思想上能够明确区分的一些对象所构成的一个整体，通过枚举法和抽象法展示
2、基数：有穷集A的元素个数称为A的基数
3、如果集合A中的每个元素都是集合，则称A为集合的聚合，或者集合族
4、集合归纳定义的三个组成部分：基础语句【直接规定某些对象是该集合的元素】，归纳语句【规定由已知元素得到新元素的办法】，权限语句【限定集合的范围，保证定义集合的唯一性】
5、字母表：符号的有穷非空集合称为字母表，也称为符号集
6、将两个对象x，y按x前y后的顺序构成的序列称为有序偶，分别称x,y为有序偶的第一元，第二元
7、笛卡尔乘积两个集合的乘积，A中的元素为第一元素，B中的元素为第二元素，构成有序偶

第六章 关系
1、关系：任何有序偶的集合称为二元关系，简称关系
2、定义域：关系R中所有有序偶的第一元组成的集合
3、值域：关系R中所有有序偶的第二元组成的集合
4、关系矩阵：从X到Y的关系，m*n的关系
5、R是自反的：R的关系矩阵的主对角线全为1，R的关系图中每个顶点上都有自环【对应反自反】
6、R是对称的：R的关系矩阵是对称矩阵，R的关系图中没有单向边（或者无弧或者两条相反方向的弧）【对应反对称】
7、R是传递的：R的关系图中从顶点x到顶点y有长度大于1的通路，必有从x到y的有向边
8、关系复合：R是从x到y的关系，S是从y到z的关系，称x到z的一个关系为R,S的复合关系
9、逆关系：将R中的每个有序偶的第一元与第二元对调就得到逆关系，关系矩阵转置，关系图中每条有向边反向
10、闭包：R的自反闭包是包含R的最小自反的关系。B是A的闭包满足B是自反、对称、传递的，A属于B，对于集合X上的任何自反关系C，只要A属于C，则B属于C
11、若R是非空集合P上自反的、反对称的、传递的关系，则称R为偏序关系或偏序
12、若R是非空集合P上反自反的、传递的关系，则称R为严格偏序关系或严格偏序
13、偏序集中x是y的紧邻前元，则称y遮盖x
14、是偏序集，B属于A，b属于B，对于每个x属于B，都有x<=b, b为B的最大元【最小元b<=x】，b 15、是偏序集，B属于A，b属于A，对于每个x属于B，都有x<=b, b为B的上界【下界b<=x】，B的上界集合的最小元为B的最小上界，上确界，B的下界集合的最大元为B的最大下界，下确界；最大元一定是上确界，最小元一定是下确界。每个集合最多只有一个上确界
16、良序集：偏序,P的每个非空子集都有最小元，称<=为良序，为良序集；良序集必为全序集，全序集未必是良序集，良序的逆关系未必是良序
17、若A是非空集合S的非空子集的聚合，并且UA=S，则称A为S的覆盖
18、A为S的覆盖，A中任意两不同元素B,C，B交C为空，则A为S的划分，A的元素为划分块，A的元素个数为A的秩【每个块都不是空集，S的每个元素都在一个块中，任何两不同块都没有公共元素】
19、等价关系：R是非空集合X上自反的、对称的、传递的关系
20、等价类：一个等价类元素之间互相等价，有不同的元素代表的等价类或者相等，或者不相交。所有等价类的并集是集合X，等价类的聚合确定了集合X的一个划分
21、商集：R等价类的集合是X的划分，并称它为X模R的商集
22、每个等价关系确定一个划分，每个划分确定一个等价关系

第七章 函数
1、设f是从集合X到Y的关系，若对每个x属于X存在唯一y属于Y，属于f，则称f为从X到Y的函数，记为X到Y
2、f是从X到Y的函数，A属于X，从A到Y的函数称f受限制于A
3、对于每个x存在唯一的y属于Y，使得属于f，称f为从X到Y的偏函数
4、满射：对于每个y属于Y，都存在x属于X，使得f(x)=y，称f为满射
5、单射：对于任意x，y属于X，只要f(x)=f(y)，就有x=y，只有x不等y，f(x)不等f(y)
6、双射：既是单射，也是满射
7、f是从X到Y的函数，g是从Y到Z的函数，f和g【满射->满射；单射->单射；双射->双射】
8、常值函数：设函数f:X->Y,如果对于所有x属于X，存在某一个y属于Y，使得f(x)=y称f为常值函数
9、设f：X->Y是双射函数，则其逆关系是双射函数Y->X
10、双射集合构成群：封闭性；结合律；有单位元；有逆元

第八章 自然数
1、集合A是无穷集当且仅当A与它的某些真子集等势
2、集合A是有穷集当且仅当A与它的任何真子集都不等势
3、与某个自然数等势的集合称为有穷集，否则称为无穷集
4、任何有穷集只与一个自然数等势
5、任何与自然数集合等势的集合称为可数无穷集
6、有穷集和可数无穷集统称为可数集，不是可数集的无穷集称为不可数集
7、任何无穷集必有可数无穷子集
8、可数集合删去或者合并一个有穷集合仍然是可数集合
9、两个可数集合的并，笛卡尔积仍然是可数集

第九章 图的基本概念
1、带权图：为每条弧或边指定了权的图称为带权图
2、关联、相邻、邻接，自环，平行弧，平行边，多重弧图，多重边图，简单图，引出弧，引入弧，引出次数，引入次数，孤立点（次数0），悬挂点（次数1），悬挂边，零图（每个顶点都是孤立点），平凡图
3、次数为奇数的顶点称为奇顶点，次数为偶数的顶点为偶顶点，在任何图中奇顶点的个数必为偶数
4、正则图：所有顶点次数都是同一个数；完全图：任何两个顶点之间都有一条边的简单无向图；有向完全图：任何两顶点恰有一条弧的简单有向图
5、同构图：同样的顶点数，同样的边数，对于任意自然数K，次数为k的顶点数一样多，有同样多的环
6、子图/部分图，真子图，补图，通路，长度，简单通路，基本通路，回路，简单回路，基本回路，无回路图，半通路，强连通，单向连通，弱连通，不连通
7、若从顶点u可以到达顶点v，则存在从u到v的基本通路
8、有向图D是单向连通的当且仅当D有完备通路
9、链，简单链，基本链，闭合链，圈，割点（去掉不连通），割边（去掉不连通），强连通分图，弱连通分图，压缩（把每个强连通分图作为一个点）

第十章 树
1、定义：连通且无圈的无向图为树，非平凡树中至少有两片树叶
2、称为顶点或弧指定了次序的根数是有序树
3、每个顶点的引出次数都等于m或0的根数称为完全m元树
4、在所有带权为p1...pn的二元树中，权最小的带权二元树称为最优二元树
5、生成树，破圈法，最小生成树，割集（G中分离出E后成为两个连通分支，E是最小要分离的量）；基本割集（只包含一个树枝的割集）
6、每个圈与任何生成树的补至少有一条公共边，每个圈都包含弦；每个割集与任何生成树至少有一条公共边；任何圈和任何割集都有偶数条公共边

第十四章 二分图
1、V分成两个非空子集X,Y，并且使得同一子集中的任何两个顶点都互不临界，G为二分图
2、非平凡无向图G是二分图当且仅当G的每个圈的长度都是偶数
3、M属于E，若M中任何两条边都不相邻，则称M为G的匹配，边数最多的匹配称为最大匹配
4、M是二分图G的匹配，P是G中的基本链，P中任何相邻的两条边恰有一条属于M，则称P为关于M的交错链
5、与M中的边关联的顶点为M的饱和顶点，称不与M中任何边关联的顶点为M的非饱和顶点；两个端点都是匹配M的非饱和顶点的交错链称为关于M的可扩充链；最大匹配M当且仅当G中不存在关于M的可扩充链

第十五章 平面图
1、若能将无向图G画在平面上，而使边不在非顶点处相交，则称G为平面图，否则为非平面图
2、若G是有K个面(n,m)连通平面图，则以下欧拉公式成立n-m+k=2
3、若增加一条连接平面图G的任意两不相邻顶点的边，都会使G变成非平面图，称G为极大平面图，去掉G的任意一条边都会使G成为平面图，G为极小非平面图
4、简单无向图G是至少三个顶点的极大平面图，则G的每个面的次数都是3
5、若图G1，G2是同构的，或者通过反复插入和除去次数为2的顶点能够使它们同构，称它们同胚
6、库拉托夫斯基定理：无向图G是平面图当且仅当它不含同胚于K3,3或K5的子图
7、若G是平面图，则G的色度<=5 (五色定理)

 

 

2011年面试离散题目汇总

 

矛盾式的概念，然后给出一串式子让你判断是不是矛盾式？
【设A为任一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假】
什么是满射？A到B是满射，B到C是满射问A到C是不是满射？
【对于每个y属于Y，都存在x属于X，使得f(x)=y，称f为满射，A到C是满射】
什么是命题的对偶式？
【在仅含有联结词与（∧）、或（∨）、非（┌）的命题公式A中，将∨换成∧，∧换成∨，若A中还含有0或1，则还需将其中的0换成1，1换成0，而命题保持不变，所得到的新命题公式A*就是A的对偶式】
什么叫割边？
【图中去掉该边就不再连通】
是一个群，满足什么性质时，是的一个子群？
【B是G的子集，且B在*运算下也是一个群】
主析取范式和主合取范式的概念
【对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则称该等价式为原式的主析取范式；对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则称该等价式为原式的主合取范式】
哈斯图
【图中的每个结点表示集合A中的一个元素，结点的位置按它们在偏序中的次序从底向上排列。即对任意a，b属于A，若a≤b且a≠b,则a排在b的下边。如果a≤b且a≠b，且不存在c∈A满足a≤c且c≤b，则在a和b之间连一条线。这样画出的图叫哈斯图】
什么是群？
【设是一个代数系统，*是G上的二元运算，如果*在G上是封闭的并且是可结合性的，存在幺元，每个元素的逆元也存在于G中，称代数系统为一个群】
命题与悖论有什么区别?
【能表达判断并具有确定真值的陈述句是命题；在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系为悖论】