自学测度论（一）

• 测度论（Measure Theory）是定义积分（Integration）和概率（Probability）的基础，由生活在 19、20 世纪的勒贝格提出，而微积分的理论在 16、17世纪即已臻于完善，可见一门数学理论曲折的发展过程；
  
  • 测度（measure）之所以在当时开始引起学术圈的注意，在于其成功的解决了一个函数可黎曼积分（高等数学所学习的积分）的充分必要条件；
• 概率论里的随机变量（Random Variable）对应的其实就是测度论的可测函数（Measurable function）；
• 没有测度论的概率论 vs 有测度论的概率论，测度论是现代概率论的基础，是严格定义许多概念的前提。
• 测度 (measure) 可以看作是测量一个集合的大小而引入的一个概念。当然，关于集合的大小，我们本身已经有了一个概念叫做集合的 Cardinality ，也就是数集合元素的个数。

1. 测度

• 一个函数可黎曼积分的充要条件；

  定义函数： f:[a,b]⇒R ，且有界（bdd），则 f 是黎曼可积的充分必要条件 ⇔ m({x∈[a,b]:f不连续})=0 ，（也即定义域内不连续的点起测度为 0）；

  • 有限个点；
  • 可数多个；

  解决了这样的一个大问题，足见这一概念的重要性；