空域滤波基础

      “滤波”是指接受或拒绝一定的频率分量。 滤波的概念其实是频域概念，即对信号频率进行处理，高于或低于截止频率的将被干掉，或者带通带限，就有了高通滤波器，低通滤波器。低通滤波器的效果是模糊（平滑）衣服图像。

    频域的相乘对应于时域的卷积，于是，空域滤波器（空间滤波器也叫卷积核，空间掩膜，核，模板，窗口等）和图像的卷积能达到和频域相同或相近的效果，所以我们要说先图像空域的卷积，值得注意的是空间滤波器只有线性滤波器和频域对应有关联，非线性滤波器在频域无法实现。

    空间滤波器组成：

1. 一个邻域（典型的是以某一点为中心的矩形）
2. 对该邻域做规定的运算，通常是将滤波后的像素值赋值给新创建图像中的对应位置，以容纳滤波的结果。

    如果执行线性操作，将可以在频域找到对应操作，如果采用非线性操作，频域则无对应。一般掩膜使用奇数x奇数大小，因为这样中心为整数坐标：

    一般来说，使用大小为m*n的滤波器对大小为M*N的图像进行线性空间滤波，线性计算如下：

    w为模板，f为图像；m=2a+1,n=2b+1；x,y是可变的，以便w中的每一个像素可访问f中的每一个像素。

    示意图：

    

空间相关与卷积

    与卷积相似的计算，叫做相关，相关时模板从图像上划过，计算模板与图像每个位置对应的乘积并求和，赋值给中心位置，卷积类似但是要将模板旋转180°，如果将模板按照线性存储，简单的做法就是将数组倒置，最后变最前。对于图像边缘的像素，卷积无法覆盖的地方采用外围补0的方法。

    截个图，来解释下上面的话，或者看前面关于卷积的理解的博客：

    需要注意一下几点：

1. 卷积或相关是关于位移的函数
2. 滤波模板w与只有一个1其他都是0的函数相关，得到一个旋转180°的拷贝，这个函数叫离散单位冲激。
3. 如果模板关于原点对称，那么相关和卷积结果相同
4. 滤波时使用卷积，相关可以用于模板匹配
5. 卷积是线性系统计算的基础

    

    需要指出的是，滤波器未必适用真正的卷积，有时不必区分相关与卷积的区别。

    接下来就是卷积模板的定义了，之前在频域中说过，一种线性模板可以是频域设计的然后ifft到空域，生成小模板，还有就是直接在空域设计，模板系数决定模板的用途，对于线性模板，唯一能做的是相乘后求和，所以计算方式规定了以后就只能有系数是可以设计的了。例如使用一个二维高斯函数生成模板。

    空域中定义一个滤波器以后，一般下需要到频域观察下其是否有其他频率影响，例如对于一个平滑滤波器，我们应该观察下其频域特性，是否在高频部分有旁瓣。不过对于一个离散模板来说，只要有截断，就会产生旁瓣。

空域滤波与频域比较

         这里我们只比较算法的时间复杂度，因为之前我曾说过一道面试题，为什么使用空间滤波模板，而不是用频域滤波。下图给出频域计算过程和算法计算量：

最后得出的计算量是除去赋值操作，结果：（4+8log2N）*N^2

而空间卷积（相关）如果不加优化，使用最普通的算法，时间复杂度是N^2*M^2（其中M是窗宽），所以当M^2<(4+8log2N)时，频域滤波速度没有优势，更主要的一点是扩展图像以后引入的高频干扰，观察下图

    填充后的图像边缘将引入高频分量，使频域滤波后的一周有高频干扰，如图：

原图：

    上面是一副512x512的纯白图片

    采用高斯高通处理后：

    周围的泛白就是高频成分被遗留的结果。

    特别的，如果空预处理高通时，改变周围的填充策略（例如复制边缘）将不会有这种效果。

总结

            总结，空域处理将占据处理的大部分，而频域更适合做分析，就像matlab一般用作模拟和实验算法，真正的工程中一般要用c，c++这些工具，所以，各有各的用途，分析和工程，都是重要的应用