高等数学-多元函数微分法
1，多元函数的概念
1.1 函数是数集到数集的映射，多元函数是 n 维 空 间 R n 上 的 点 集 D 到 一 维 空 间 R 上 的 映 射 。 n维空间R^n上的点集D到一维空间R上的映射。 n维空间Rn上的点集D到一维空间R上的映射。
1.2 多元函数极限和连续性的定义方法与一元函数类似（判断多元函数极限是否存在的技巧：从y=kx的方向去趋近；分别从y=x和y=-x两个方向去趋近）。
1.3 有界性与最大值最小值定理。在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D 上有界，且能取得它的最大值和最小值。
1.4 介值定理。在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
1.5 一致连续性定理。在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一直连续。
2，偏导数
2.1 在求偏导数时，一定要先固定坐标系统，哪些是自变量要搞清楚。如果以x,y,z为自变量的函数，求对x的偏导数时将y和z看成常量即可。
2.2 偏导数的几何意义是与曲线在某点的切线，或曲面在某个方向的切线联系在一起的。
2.3 如 果 函 数 z = f ( x , y ) 的 两 个 二 阶 混 合 偏 导 数 ∂ 2 z ∂ y ∂ x 及 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}及 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数∂y∂x∂2z及 ∂ 2 z ∂ x ∂ y 在 区 域 D 内 连 续 ， 那 么 在 该 区 域 内 这 两 个 二 阶 \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶 ∂x∂y∂2z在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶
混 合 偏 导 数 必 相 等 。 混合偏导数必相等。 混合偏导数必相等。反之，相等推不出连续。
3，全微分
3.1 定义：设函数z=f(x,y)在点(x, y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x, y)的全增量
Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可表示为
Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，
其中A、B不依赖于 Δ x 、 Δ y 而 仅 与 x 、 y 有 关 ， 则 称 函 数 z = f ( x , y ) 在 点 f ( x , y ) 可 微 分 ， 而 A Δ x + B Δ y 称 为 函 数 z = f ( x , y ) 在 点 ( x , y ) 的 全 微 分 ， 记 作 d z ， 即 d z = A Δ x + B Δ y 。 \Delta x、\Delta y而仅与x、y有关，则称函数z=f(x,y)在点f(x,y)可微分，而A\Delta x+B\Delta y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dz=A\Delta x+B\Delta y。 Δx、Δy而仅与x、y有关，则称函数z=f(x,y)在点f(x,y)可微分，而AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dz=AΔx+BΔy。
3.2 全微分进一步可以写成偏导数的形式： d z = ∂ z ∂ x Δ x + ∂ z ∂ y Δ y dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y dz=∂x∂zΔx+∂y∂zΔy。函数在点（x,y）处可微分可以推出函数在该点的偏导数都存在，推不出来各偏导数连续。
3.3 如果函数在点（x,y）处各偏导数连续，则函数在该点可微分。
4，隐函数求导法则
4.1 x和y两个未知数
4.2 x,y和z三个未知数
4.3 两个方程的情形
5，一元向量值函数
5.1 一 元 向 量 值 函 数 是 一 维 空 间 R 上 的 点 D 到 n 维 空 间 R n 的 映 射 。 一元向量值函数是一维空间R上的点D到n维空间R^n的映射。 一元向量值函数是一维空间R上的点D到n维空间Rn的映射。一元向量值函数是普通一元函数的推广。
5.2 将一维点集投射到三维空间中，可以表示如下：
在 R 3 中 ， 若 向 量 值 函 数 f ⃗ ( t ) , t ∈ D 的 三 个 分 量 函 数 分 别 为 f 1 ( t ) , f 2 ( t ) , f 3 ( t ) , t ∈ D ， 则 向 量 值 函 数 f ⃗ 可 表 示 为 f ⃗ ( t ) = f 1 ( t ) i ⃗ + f 2 ( t ) j ⃗ + f 3 ( t ) k ⃗ , t ∈ D . 在R^3中，若向量值函数\vec f(t),t\in D的三个分量函数分别为f_1(t),f_2(t),f_3(t),t\in D，则向量值函数\vec f可表示为\vec f(t)=f_1(t)\vec i+f_2(t)\vec j+f_3(t)\vec k,t\in D. 在R3中，若向量值函数f(t),t∈D的三个分量函数分别为f1(t),f2(t),f3(t),t∈D，则向量值函数f可表示为f(t)=f1(t)i+f2(t)j+f3(t)k,t∈D.
5.3 两向量垂直代表它们的数量积为0，两向量平行则它们的坐标成正比。
6，方向导数与梯度
6.1 方向导数
6.2 梯度一个向量。方向导数是一个数值。
7，多元函数的极值
7.1 必要条件
设 函 数 z = f ( x , y ) 在 点 （ x 0 , y 0 ） 具 有 偏 导 数 ， 且 在 点 ( x 0 , y 0 ) 处 设函数z=f(x,y)在点（x_0,y_0）具有偏导数，且在点(x_0,y_0)处 设函数z=f(x,y)在点（x0,y0）具有偏导数，且在点(x0,y0)处
有 极 值 ， 则 有 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ( x 0 , y 0 ) = 0. 有极值，则有f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0. 有极值，则有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.
7.2 充分条件
8，拉格朗日乘数法
9，二元函数的泰勒公式
