2020.05.30【NOIP普及组】模拟赛C组36 总结

$2020.05.30$【$NOIP$普及组】模拟赛$C$组$36$ 总结

这次比赛我考了$360$分，第二名，还可以。

第一题：$h2o$

解题方法

可以发现答案为$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^{n+1}i\end{array}$，时间复杂度为$O(n)$，不能过。
用求和公式简化，注：下面的$s$表示总和，$a$表示首项，$b$表示末项，$c$表示项数。
则$s=\frac{(a+b)\times c}{2}$。
那么答案就是$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，时间复杂度为$O(1)$。
注意：一定要开$longlong$。

得分情况

比赛时满分。

第二题：$chess$

解题方法

找规律，可以发现答案为$2^n+2^m-2$。
所以直接用高精度做。

得分情况

比赛时满分。

第三题：$problem2$

解题方法

设$d{p}_{i,j}$表示$N=i$时某种情况的答案，情况如下：
当$j=0$，表示所有方向之和；
当$j=1$，往上走；
当$j=2$，往左走；
当$j=3$，往右走。
根据定义，可得$d{p}_{i,0}=d{p}_{i,1}+d{p}_{i,2}+d{p}_{i,3}$。
分三种情况讨论：

• 向上走，即$d{p}_{i,1}=d{p}_{i-1,0}$；
• 向左走，即$d{p}_{i,2}=d{p}_{i-1,1}+d{p}_{i-1,2}$；
• 向右走，即$d{p}_{i,3}=d{p}_{i-1,1}+d{p}_{i-1,3}$。

继续简化，
$d{p}_{i,0}=d{p}_{i-1,0}+d{p}_{i-1,1}+d{p}_{i-1,2}+d{p}_{i-1,1}+d{p}_{i-1,3}$
$=d{p}_{i-1,0}+(d{p}_{i-1,1}+d{p}_{i-1,2}+d{p}_{i-1,3})+d{p}_{i-1,1}$
$=d{p}_{i-1,0}\times 2+d{p}_{i-1,1}$
$=d{p}_{i-1,0}\times 2+d{p}_{i-1-1,0}$
$=d{p}_{i-1,0}\times 2+d{p}_{i-2,0}$
由上式可得：设$f_i$表示当$N=i$时的答案，则$f_i=f_{i-1}\times 2+f_{i-2}$。
因为有取模运算，所以我们可以边做边取模。
时间复杂度为$O(n)$。

得分情况

比赛时满分。

第四题：$sequence$

解题方法

算法$1$

可以发现答案就是$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n\frac{{\sum }_{k=i}^j{a}_k}{j-i+1}>A\end{array}$。
因为除法是乘法的逆运算，所以可将上式转化为$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n\sum _{k=i}^j{a}_k>(j-i+1)\times A\end{array}$。
因此可以直接暴力，时间复杂度为$O(n^3)$。

算法$2$

对算法$1$进行改进，可以发现$\begin{array}{r}\sum _{k=i}^j{a}_k\end{array}$可以用前缀和来优化。
设$s_i$表示$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n{a}_i\end{array}$，则$\begin{array}{r}\sum _{k=i}^j{a}_k\end{array}$等于$s_j-s_{i-1}$。
所以算法$1$的式子可以转化为$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n{s}_j-s_{i-1}>(j-i+1)\times A\end{array}$。
我们不用每一次循环求$s_i$，而是可以直接递推求得：$s_i=s_{i-1}+a_i$，预处理$s_0=0$。
时间复杂度为$O(n^2)$，可以得$60$分。

算法$3$

换一种思路，注：下面的$s$与上面的$s$不同，$a$和$A$跟上面是一样的。
设$b_i=a_i-A$，$\begin{array}{r}{s}_i=\sum _{i=1}^n{b}_i\end{array}$，则我们只需要看一下有多少个区间的和大于$0$即可。
也就是$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n{s}_j-s_{i-1}>0\end{array}$。
可以用递推预处理出$s_i$，可得$s_i=s_{i-1}+a_i-A$，$s_0=0$。
时间复杂度仍然为$O(n^2)$，但是越来越接近满分算法了。

算法$4$

优化上述方法，可以用树状数组维护区间和。
首先我们将序列离散化，虽然我不是很清楚什么是离散化 。
每一次我们求出$s_i$，都看一下$s_i$是否大于$0$，如果大于，答案加$1$。
离散化过程如下：
我们先记录每一个的下标（用$c$表示），初始化$c_i=i$。
那么我们以$s$为第一关键字从小到大排序，以$c$为第二关键字从大到小排序。
那么就得到了一个序列。
接着我们开始用树状数组优化。
每一次我们只用将答案加上$sum(c_i)$就行了，并维护——$add(c_i)$。
下面我讲一讲这些函数的用途：
$sum(x)$：求出所有以$x$为根的树状数组的结点的权值总和。
$add(x)$：表示将所有以$x$为根的树状数组的结点的权值加$1$。
时间复杂度为$O(n{\log }_2^n)$，可以过。

得分情况

比赛时$60$分。
改题后满分。