20230929 比赛总结
反思
A
时间花的太长了，很久不做图上问题，有些不熟练
B
考场降智，没有想清贡献如何计算最方便，然后就无法优化自己的 d p dp dp 式子
D
感觉树上路径的题很多都是点分治，而且不算太难，应该冲一冲的
题解
A
感觉是目前为止较难的 A A A 题（可能是我太菜了
有一个结论是：最短路图是一个 D A G DAG DAG
然后就用这一个结论令 f i , j f_{i,j} fi,j 表示当前一个人在 i i i，另一个人在 j j j 的方案数
钦定一下转移顺序即可
时间复杂度 O ( n m ) O(nm) O(nm)
#include B
考场降智，极为无语
一个朴素的 d p dp dp 思路为令 f i f_i fi 为长度为 i i i 的排列的权值之和
首先考虑把左右两边的贡献相加，即 f a b ! + f b a ! → f a + b + 1 f_ab!+f_ba!\to f_{a+b+1} fab!+fba!→fa+b+1
然后考虑左右儿子的贡献，即 g b a ! − g a b ! + ( a + 1 ) a ! b ! g_ba!-g_ab!+(a+1)a!b! gba!−gab!+(a+1)a!b!，后面一部分是偏移量，需要保证 a > 0 , b > 0 a>0,b>0 a>0,b>0
其中 g i = ∑ j = 1 i j × ( i − 1 ) ! = ( i − 1 ) ! i ( i + 1 ) 2 g_i=\sum\limits_{j=1}^i j\times (i-1)!=(i-1)!\frac{i(i+1)}{2} gi=j=1∑ij×(i−1)!=(i−1)!2i(i+1)
这样计算时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的
考虑优化，可以直接拆式子，然后计算，这里就不多说了，也不算很难
一个有趣的事情是拆完式子之后发现 g b a ! − g a b ! g_ba!-g_ab! gba!−gab! 的贡献可以抵消掉
时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)
#include D
看到树上路径问题，首先想到点分治
我们考虑容斥，先把以 r t rt rt 为分治中心的整棵树的答案全部算出来，然后再减去两头在同一棵子树内的答案
现在的问题是：有一个序列，每个位置有 m x , m n mx,mn mx,mn，问有多少对位置 max ( m x i , m x j ) − min ( m n i , m n j ) = k \max(mx_i,mx_j)-\min(mn_i,mn_j)=k max(mxi,mxj)−min(mni,mnj)=k
考虑先按照 m x mx mx 排序
然后分类讨论：
- m x i − m n i > k mx_i-mn_i>k mxi−mni>k，一定不可能成为答案， s k i p skip skip
- m x i − m n i < k mx_i-mn_i
mxi−mni<k ，因为前面的 m x j ≤ m x i mx_j\le mx_i mxj≤mxi，所以现在需要统计 m n j = m x i − k mn_j=mx_i-k mnj=mxi−k 的个数，开个桶即可 - m x i − m n i = k mx_i-mn_i=k mxi−mni=k，需要统计 m n j ≥ m n i mn_j\ge mn_i mnj≥mni 的个数，这也不难统计，容斥一下，求 m n j < m n i mn_j
mnj<mni 的个数即可，不难发现 m n i mn_i mni 是递增的，所以只要用几个变量维护一下
点分治的 n l o g n nlogn nlogn × \times × 排序的 l o g n logn logn，时间复杂度为 O ( n l o g 2 n ) O(nlog^2n) O(nlog2n)，常数较小，可以轻松通过
说句闲话，感觉最近点分治考得很多啊，感觉需要倒序开题了
#include
// for(int i=1;i<=cnt;i++) cout<
ans+=djx();
for(int i=h[rt];~i;i=ne[i]){
int v=e[i];
if(vis[v]) continue;
cnt=0,dfs(v,rt,w[i],w[i]);
ans-=djx();
}
for(int i=h[rt];~i;i=ne[i]) if(!vis[e[i]]) solve(e[i]);
}
void add(int x,int y,int z){ e[idx]=y,w[idx]=z,ne[idx]=h[x],h[x]=idx++;}
int main(){
freopen("minmax.in","r",stdin);
freopen("minmax.out","w",stdout);
n=read(),k=read();
memset(h,-1,sizeof(h));
for(int i=1;i<n;i++){
int x=read(),y=read(),z=read();
add(x,y,z),add(y,x,z);
}
solve(1);
printf("%lld\n",ans);
fprintf(stderr,"%d ms\n",int(1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC));
return 0;
}