2023大联盟6比赛总结
比赛链接
反思
A
为什么打表就我看不出规律！！！
定式思维太严重了T_T
B
纯智障分块题，不知道为什么 B = 100 B=100 B=100 比理论最优 B = 300 B=300 B=300 更优（快了 3 倍），看来分块还是要学习一些卡常技巧的
C
菜死了，不会
D
菜死了，不会
题解
A
神奇的式子，考虑打表
打表！！！
可以发现一下两个规律：
- 只有当 x + y x+y x+y 是 2 2 2 的次幂时 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 才可能不为 0 0 0
- f ( x , y ) = f ( x d , y d ) f(x,y)=f(\frac{x}{d},\frac{y}{d}) f(x,y)=f(dx,dy)，其中 d = gcd ( x , y ) d=\gcd(x,y) d=gcd(x,y)
且若 x + y = 2 k , x , y x+y=2^k,x,y x+y=2k,x,y 都为奇数且 ( x , y ) = 1 (x,y)=1 (x,y)=1 时， f ( x , y ) = k f(x,y)=k f(x,y)=k
考虑证明：
考虑 x + y x+y x+y 必须为偶数因为一直循环下去 x + y x+y x+y 的值不变
f ( x , y ) = f ( x d , y d ) f(x,y)=f(\frac{x}{d},\frac{y}{d}) f(x,y)=f(dx,dy) 是易得的
我们只需要考虑 x , y x,y x,y 都为奇数的情况，因为 x , y x,y x,y 为偶数时 2 ∣ gcd ( x , y ) 2|\gcd(x,y) 2∣gcd(x,y)
令 x > y x>y x>y，则 f ( x , y ) = f ( 2 y , x − y ) + 1 f(x,y)=f(2y,x-y)+1 f(x,y)=f(2y,x−y)+1
因为 2 y , x − y 2y,x-y 2y,x−y 都为偶数，所以 f ( x , y ) = f ( y , x − y 2 ) + 1 f(x,y)=f(y,\frac{x-y}{2})+1 f(x,y)=f(y,2x−y)+1
这样 x ′ + y ′ x'+y' x′+y′ 的值就除了 2 2 2，且因为 gcd ( x , y ) = 1 \gcd(x,y)=1 gcd(x,y)=1，所以 gcd ( y , x − y 2 ) = 1 \gcd(y,\frac{x-y}{2})=1 gcd(y,2x−y)=1
所以 x + y x+y x+y 只有当是 2 2 2 的次幂时， x ′ = y ′ x'=y' x′=y′，且操作次数为 l o g 2 ( x + y ) log_2(x+y) log2(x+y)
我们发现这有值的点对个数是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn) 级别的
所以我们可以把所有有值的点对找出来，然后询问就相当于二维数点了
离线询问 + 扫描线 + 树状数组即可
时间复杂度 O ( n l o g 2 n ) O(nlog^2n) O(nlog2n)
#include B
不说了，思想比较简单，就是分块 + 块内用优先队列维护
时间复杂度 O ( n m l o g n ) O(n\sqrt mlogn) O(nmlogn)， m m m 为修改操作个数
块长设为 100 100 100 实测最优
#pragma GCC optimize(3)
#include C
感觉是到有点 nb 的题
不考虑翻转，如何求 l i s lis lis？
考虑枚举分界点 i i i，那么答案 = max { i 前面 0 的个数 + i 后面 1 的个数 } =\max\{i前面0的个数+i后面1的个数\} =max{i前面0的个数+i后面1的个数}
这等价于 s 1 + max i = 1 n s u m i s1+\max\limits_{i=1}^{n} sum_i s1+i=1maxnsumi，其中 s 1 s1 s1 为序列中 1 1 1 的个数， s u m i sum_i sumi 为把 0 0 0 的权值设为 1 1 1， 1 1 1 的权值设为 − 1 -1 −1 的前缀和
考虑翻转操作
我们可以把这个问题等价地看成选出一段前缀和与 m m m 段不相交子区间（不能与前缀相交）的和的最大值
这一步感觉很难想，也很难理解
具体我也不会证，只能自己画图感性理解
然后就是经典的反悔贪心操作了，找最大的区间，然后区间取反，用线段树维护即可
时间复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
#include D
考虑暴力是 f i , j f_{i,j} fi,j 表示当前在 i i i，前一个选 j j j 的最大长度，因为 p i ≠ k p_i\neq k pi=k 的限制很松，所以直接记录最大值和次大值就可以维护，时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)
于是我们可以猜测需要保留的转移状态不会太多，事实上是真的
我们令三元组 ( l e n t h , p r e , i ) (lenth,pre,i) (lenth,pre,i) 表示当前在 i i i，上一个在 p r e pre pre，长度为 l e n t h lenth lenth 的状态
我们考虑用这个东西转移
每次答案，我们需要把 a j < a i a_j
结论1：对于 i i i 只需要保留 l e n t h lenth lenth 最长的两个且满足 j p ≠ j q j_p\neq j_q jp=jq 的状态
首先 j j j 相等的状态只需要保留一个，那么后面最多只会排除掉 1 1 1 个状态，所以只需要暴力 2 2 2 个状态
结论2：只需要取出 ( l e n t h , p r e , j ) (lenth,pre,j) (lenth,pre,j) 的前 5 5 5 大 l e n t h lenth lenth，且对于 p r e pre pre 相同的，我们只保留最大的 2 2 2 个
为什么，考虑如果前两个的 p r e pre pre 都和 i i i 一样，那么后两个必然有两个 p r e pre pre 不相同的，是可以更新出 2 2 2 个有效答案的
时间复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)（但常数有点大，我稍微卡了一下常）
#pragma GCC optimize(3)
#include