Buffon投针实验 · 数学的直观理解 · 基础知识很重要

从Matrix67博客的一个数学问题说起
http://www.matrix67.com/blog/archives/2494

M大牛语录——
    “数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟出一个让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但是一件很酷的事，而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用也很有帮助。”

    关于这个问题，M牛举了例子：圆的面积与周长的关系。（正方形面积与周长的关系）。

    记得我和一位友人，讨论一个网络游戏中升级武器的概率问题的时候，发生了不少摩擦。我研究了一天给出了一个复杂（但是正确）的公式，但结果令他很不屑，因为他认为肯定有一种直觉的、很简单的算法存在其中。当时我认为他这么想是因为他数学基础不好= =，事实证明我错了。——有关这个问题，应该再写一篇文章记录一下。

    复述一下Buffon投针的问题。

    

    Buffon投针实验是说，假设地板上画着一组间距为1的平行线。把一根长度为1的针扔到地上，则这根针与地板上的平行线相交的概率为2/pi。这个答案有些蹊跷，一是因为出现了pi，二是因为它实在是太简洁了。

 

注意到，把一根长度为pi的铁丝弯成一个直径为1的圆，则把它扔到地上之后，它与这组平行线总有两个交点。这就是说，pi的c倍就等于2，即c等于2/pi


这个问题说完了，注意红字部分——期望值的一个最引人注目的性质就是，E(A+B)=E(A)+E(B)，不管A和B是不是独立的。我对此性质十分费解，到现在也没有完全搞明白如何理解或者证明这个性质。先贴一个网上的证明看看：

两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望的和。（截图容易挂，用文本简单描述一下好了。）

证：E(X+Y) = Sig(i) Sig(j){ (Ai + Bj)·Pij } = Sig(i){Ai·Pij} + Sig(j){Bj·Pij}

           = Sig(i){Ai·Pi} + Sig(j){Bj·Pj}

           = EX + EY

 

    我数学不好，上次竟然没看懂证明过程。这次大致明白了，就是期望的定义里只有简单的乘法和加法，只要利用分配率和交换率倒一下，就会得到想要的结果。中间只有双重Sigma有点不熟悉。

先贴着，慢慢理解着。基础知识忒重要了。

直觉上期望的这个性质很有用 = =