DP - 区间DP - Brackets - POJ - 2955

DP - 区间DP - Brackets - POJ - 2955

题意：

$$\begin{gathered} 用以下方式定义合法的括号字符串 \\ 1.空串是合法的 \\ 2.如果S是合法的,那么(S)和[S]也都是合法的 \\ 3.如果A和B是合法的,那么AB是一个合法的字符串. \end{gathered}$$

$现给定一个仅含"()"和"[]"的括号序列s，要求序列s中的合法括号字符子序列的最大长度。$

Sample Input：
((()))
()()()
([]])
)[)(
([][][)
end

Sample Output：
6
6
4
0
6

数据范围：

$$\begin{gathered} 序列长度|s|<=100 \\ Timelimit：1000ms，Memorylimit：65536kB \end{gathered}$$

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分析：

$本题是求合法子序列的最大长度，因此不能用栈来做括号匹配。$

$事实上，合法括号的计算是相互独立的。$

$可用区间DP来计算。$

$状态表示：f[i][j]:区间[i,j]中的合法括号数量的最大值。$

$$\begin{gathered} 状态计算： \\ 对区间[l,r]内的合法括号数量可分为[l,k]和[k+1,r]两部分，k为分界点，k\in [l,r-1]。 \end{gathered}$$
$即f[l][r]=max(f[l][k]+f[k+1][r])。$

$特别地，当k=r时，即求整个区间的最大值，有两种情况：$

$$\begin{gathered} ①、s[l]\ne s[r]，则f[l][r]=f[l+1][r-1]。 \\ ②、s[l]=s[r]，则f[l][r]=f[l+1][r-1]+2。 \end{gathered}$$

$最后对每个长度为len的区间[l,r]，枚举分界点k求最大值更新到f[l][r]即可。$

代码：

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N=110;

char s[N];
int f[N][N];  

bool check(int l,int r)
{
    if( (s[l]=='('&&s[r]==')')||(s[l]=='['&&s[r]==']') )return true;
    return false;
}

int main()
{
    while(~scanf("%s",s+1),strcmp("end",s+1))
    {
        memset(f,0,sizeof f);
        int n=strlen(s+1);
        
        for(int len=2;len<=n;len++)
            for(int l=1;l+len-1<=n;l++)
            {
                int r=l+len-1;
                f[l][r]=f[l+1][r-1];
                if(check(l,r)) f[l][r]+=2;
                for(int k=l;k<r;k++) f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]);
            }
            
        cout<<f[1][n]<<endl;
    }
    
    return 0;
}

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