2018-12-05

今天考研的同学让我帮她看一道数据结构问题，题目是这样的：

由23、12、45、36构成的二叉排序树有几个（） ，其中AVL树又有几个（）？
A. 13, 4;
B. 13, 5;
C. 14, 5;
D. 14, 4;
答案： D

看到这题的第一反应是，首先将序列排序为 ：12、23、36、45，然后用枚举法。
当然答案也是这么给的。

有 种情况， 枚举的时候发现12 和 45 开头的AVL树不可能存在，因此只要枚举23 和 36 开头的情况，排除相同的树即可。枚举完发现分别有2个AVL树，因此第二个空为4。

但是仔细想想，二叉树是可以反转的。也就是说，其实12 开头（最小值）的树，将树的左右子树交换一下，她的结构就和45开头（最大值）的树一模一样！对于23 和 36 开头的树也是如此（因为对于23来说，有1个数比他小，2个数比他大；对于36来说，有1个树比它大，有2个数比他小。对于树的结构来说，就会是左右子树交换的问题了）！因此对于一个偶数序列，答案必定两个空都为偶数！

因此只要给出2k位（哪怕有1000000个数）的偶数序列，只要他出答案方式不变，则不用不用不用任何计算、画图、枚举！！！直接选两个数都为偶数的答案！！！！ 就算出答案方式改变，那也可以少计算一半！！！！！！！

若给出2k+1奇数序列，则只需计算最中间那个树的方案即可。

这题最难的还可以这么出：

给你 2k+1 个数，构成的二叉排序树有___个 ，其中AVL树又有 ___个？

来，大家一起来填空！有了上面的思路，我相信再递归递归，找找规律这题就有解了。只要有高中扎实的数学功底，以及对二叉树本质的了解，这题一定能作对！