leetcode-拓扑排序

leetcode-拓扑排序

之前刷了不少leetcode的题目，现在开始春招了，特地把之前写的代码上传了github：https://github.com/czy36mengfei/leetcode，欢迎大家下载、star。

知识拓展: 拓扑排序

拓扑排序并非一种排序算法，它能得到一个 AOV 网络的拓扑序列，用于判断有向无环图中是否有环，即可以判断一系列活动是否有循环依赖；

具体例子：去店里吃饭的问题：顾客要求先吃饭再付钱，商家要求先收钱再做菜，这就是循环依赖，拓扑排序就可以帮助我们判断是否形成环。

步骤：找无前驱的结点（即入度为 0 的结点），一个一个地删去（使用队列或者栈），删的时候，把邻居结点的入度 -1。

“拓扑排序”用于对有先后顺序的任务的输出，如果先后顺序形成一个环，那么就表示这些任务头尾依赖，就永远不能完成。

例题 – LeetCode 第 207 题：课程表

现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，判断是否可能完成所有课程的学习？

示例 1:

输入: 2, [[1,0]] 
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。
123

示例 2:

输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。
123

说明:

1. 输入的先决条件是由边缘列表表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。
2. 你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。

提示:

1. 这个问题相当于查找一个循环是否存在于有向图中。如果存在循环，则不存在拓扑排序，因此不可能选取所有课程进行学习。
2. 通过 DFS 进行拓扑排序 - 一个关于Coursera的精彩视频教程（21分钟），介绍拓扑排序的基本概念。
3. 拓扑排序也可以通过 BFS 完成。

方法一：拓扑排序（Kahn 算法）

拓扑排序实际上应用的是贪心算法，贪心算法简而言之：每一步最优，全局就最优）。具体到拓扑排序，每一次都输出入度为 0 的结点，并移除它、修改它指向的结点的入度，依次得到的结点序列就是拓扑排序的结点序列。如果图中还有结点没有被移除，则说明“不能完成所有课程的学习”。

拓扑排序保证了每个活动（在这题中是“课程”）的所有前驱活动都排在该活动的前面，并且可以完成所有活动。拓扑排序的结果不唯一。拓扑排序还可以用于检测一个有向图是否有环。相关的概念还有 AOV 网，这里就不展开了。

具体做如下：

1、在开始排序前，扫描对应的存储空间（使用邻接表），将入度为 00 的结点放入队列。

2、只要队列非空，就从队首取出入度为 0 的结点，将这个结点输出到结果集中，并且将这个结点的所有邻接结点（它指向的结点）的入度减 1，在减 1 以后，如果这个被减 1 的结点的入度为 0 ，就继续入队。

3、当队列为空的时候，检查结果集中的顶点个数是否和课程数相等即可。

class Solution(object):

    # 思想：该方法的每一步总是输出当前无前趋（即入度为零）的顶点

    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
        """
        :type numCourses: int 课程门数
        :type prerequisites: List[List[int]] 课程与课程之间的关系
        :rtype: bool
        """
        # 课程的长度
        clen = len(prerequisites)
        if clen == 0:
            # 没有课程，当然可以完成课程的学习
            return True

        # 步骤1：统计每个顶点的入度
        # 入度数组，记录了指向它的结点的个数，一开始全部为 0
        in_degrees = [0 for _ in range(numCourses)]
        # 邻接表，使用散列表是为了去重
        adj = [set() for _ in range(numCourses)]

        # 想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]
        # [0, 1] 表示 1 在先，0 在后
        # 注意：邻接表存放的是后继 successor 结点的集合
        for second, first in prerequisites:
            in_degrees[second] += 1
            adj[first].add(second)

        # 步骤2：拓扑排序开始之前，先把所有入度为 0 的结点加入到一个队列中
        # 首先遍历一遍，把所有入度为 0 的结点都加入队列
        queue = []
        for i in range(numCourses):
            if in_degrees[i] == 0:
                queue.append(i)

        counter = 0
        while queue:
            top = queue.pop(0)
            counter += 1
            # 步骤3：把这个结点的所有后继结点的入度减去 1，如果发现入度为 0 ，就马上添加到队列中
            for successor in adj[top]:
                in_degrees[successor] -= 1
                if in_degrees[successor] == 0:
                    queue.append(successor)

        return counter == numCourses

方法二：深度优先遍历

这里要使用逆邻接表。其实就是检测这个有向图中有没有环，只要存在环，这些课程就不能按要求学完。

具体方法是：

第 1 步：构建逆邻接表；

第 2 步：递归处理每一个还没有被访问的结点，具体做法很简单：对于一个结点来说，先输出指向它的所有顶点，再输出自己。

第 3 步：如果这个顶点还没有被遍历过，就递归遍历它，把所有指向它的结点都输出了，再输出自己。注意：当访问一个结点的时候，应当先递归访问它的前驱结点，直至前驱结点没有前驱结点为止。

class Solution(object):

    # 这里使用逆邻接表

    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
        """
        :type numCourses: int 课程门数
        :type prerequisites: List[List[int]] 课程与课程之间的关系
        :rtype: bool
        """
        # 课程的长度
        clen = len(prerequisites)
        if clen == 0:
            # 没有课程，当然可以完成课程的学习
            return True
        # 深度优先遍历，判断结点是否访问过
        # 这里要设置 3 个状态
        # 0 就对应 False ，表示结点没有访问过
        # 1 就对应 True ，表示结点已经访问过，在深度优先遍历结束以后才置为 1
        # 2 表示当前正在遍历的结点，如果在深度优先遍历的过程中，
        # 有遇到状态为 2 的结点，就表示这个图中存在环
        visited = [0 for _ in range(numCourses)]

        # 逆邻接表，存的是每个结点的前驱结点的集合
        # 想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]
        # 1 在前，0 在后
        inverse_adj = [set() for _ in range(numCourses)]
        for second, first in prerequisites:
            inverse_adj[second].add(first)

        for i in range(numCourses):
            # 在遍历的过程中，如果发现有环，就退出
            if self.__dfs(i, inverse_adj, visited):
                return False
        return True

    def __dfs(self, vertex, inverse_adj, visited):
        """
        注意：这个递归方法的返回值是返回是否有环
        :param vertex: 结点的索引
        :param inverse_adj: 逆邻接表，记录的是当前结点的前驱结点的集合
        :param visited: 记录了结点是否被访问过，2 表示当前正在 DFS 这个结点
        :return: 是否有环，返回 True 表示这个有向图有环
        """
        # 2 表示这个结点正在访问
        if visited[vertex] == 2:
            # 表示遇到环
            return True
        if visited[vertex] == 1:
            return False

        visited[vertex] = 2
        for precursor in inverse_adj[vertex]:
            # 如果有环，就返回 True 表示有环
            if self.__dfs(precursor, inverse_adj, visited):
                return True

        # 1 表示访问结束
        # 先把 vertex 这个结点的所有前驱结点都输出之后，再输出自己
        visited[vertex] = 1
        return False

点我有惊喜

每日一题

课程表 II

现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。

可能会有多个正确的顺序，你只要返回一种就可以了。如果不可能完成所有课程，返回一个空数组。

示例 1:

输入: 2, [[1,0]]
输出: [0,1]
解释: 总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。
示例 2:

输入: 4, [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出: [0,1,2,3] or [0,2,1,3]
解释: 总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。
说明:

输入的先决条件是由边缘列表表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
提示:

这个问题相当于查找一个循环是否存在于有向图中。如果存在循环，则不存在拓扑排序，因此不可能选取所有课程进行学习。
通过 DFS 进行拓扑排序 - 一个关于Coursera的精彩视频教程（21分钟），介绍拓扑排序的基本概念。
拓扑排序也可以通过 BFS 完成。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/course-schedule-ii