透彻理解高斯过程Gaussian Process (GP)

透彻理解高斯过程Gaussian Process (GP)

一、整体说说

为了理解高斯过程，我们就首先需要了解如下预备知识，即：高斯分布（函数）、随机过程、以及贝叶斯概率等。明白了这些预备知识之后才能顺利进入高斯过程，了解高斯过程本质及其高斯过程描述方法。人们又将高斯过程与贝叶斯概率有机结合在一起，构造了强大的数学方法（或称模型），为人类提供解决日常生活和工作的问题。特别是在人工智能领域更是意义非凡。为什么呢？

1. 高斯过程模型属于无参数模型，相对解决的问题复杂度及与其它算法比较减少了算法计算量。
2. 高斯模型可以解决高维空间（实际上是无限维）的数学问题，可以面对负杂的数学问题。
3. 结合贝叶斯概率算法，可以实现通过先验概率，推导未知后验输入变量的后验概率。由果推因的概率。
4. 高斯过程观测变量空间是连续域，时间或空间。
5. 高斯过程观测变量空间是实数域的时候，我们就可以进行回归而实现预测。
6. 高斯过程观测变量空间是整数域的时候（观测点是离散的），我们就可以进行分类。结合贝叶斯算法甚至可以实现单类分类学习（训练），面对小样本就可以实现半监督学习而后完成分类。面对异常检测领域很有用，降低打标签成本（小样本且单类即可训练模型）。
   所以说，我们快点进入高斯过程-贝叶斯概率算法模型吧，功能非凡。
   接下来慢慢展开学习之旅吧。

二、高斯分布（高斯函数）

https://blog.csdn.net/jorg_zhao/article/details/52687448
https://blog.csdn.net/zyttae/article/details/41086773

（一）一维高斯函数

一维高斯函数定义一维高斯函数定义。

我们通常所说的标准正态分布是位置参数μ=0μ=0的正态分布（见下图中红色曲线）。

对于任意的实数a,b,ca,b,c。

• 为什么用概率密度函数表示高斯正态分布的函数：这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。其它方法我们这里不在描述了，如：累积分布函数，cumulant、特征函数、动差生成函数以及cumulant-生成函数。
• 正态分布中一些值得注意的现象（量）：
  
  1. 密度函数关于平均值μμ对称。
  2. 平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
  3. 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
  4. 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差2 \sigma的范围内。
  5. 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差3 \sigma的范围内。
  6. 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差4 \sigma的范围内。

其中：

μ=1m∑mi=1x(i)σ2=1m∑mi=1(x(i)−μ)2)μ=1m∑i=1mx(i)σ2=1m∑i=1m(x(i)−μ)2)是已知，而且不需要有标签，可以作为非监督学习训练。
高斯分布样例如下图（引自吴恩达课件）：

注：机器学习中对于方差我们通常只除以mm其实区别很小，只要你有一个还算大的训练集，在机器学习领域大部分人更习惯使用这个版本的公式。这两个版本的公式在理论特性和数学特性上稍有不同，但是在实际使用中，他们的区别甚小，几乎可以忽略不计。

在异常检测中，利用如下策略判断异常

ifp(x){<ε,≥ε,异常正常ifp(x){<ε,异常≥ε,正常

• 正态分布的一些性质：

1. 如果X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2)服从自由度为n的卡方分布。

中心极限定理
正态分布有一个非常重要的性质：在特定条件下，大量统计独立的随机变量的平均值的分布趋于正态分布，这就是中心极限定理。中心极限定理的重要意义在于，根据这一定理的结论，其他概率分布可以用正态分布作为近似。中心极限定理阐明了随着有限方差的随机变量数量增长，它们的和的分布趋向正态分布。

• 1、参数为n和p的二项分布，在n相当大而且p接近0.5时近似于正态分布。
  （有的参考书建议仅在npnp,这些近似值是否完全充分正确取决于使用者的使用需求。

相关的一些分布介绍

• 1、R∼Rayleigh(σ)R∼Rayleigh(σ)

（二）二元高斯函数（多元中的特例）

二维高斯函数形如：

f(x,y)=Aexp(−((x−x0)22σ2x+(y−y0)22σ