概率论与数理统计考研复习

1 随机试验的特点

概念

• 可以在相同的条件下重复地进行；
• 每次试验的可能结果不止一个，并且都事先明确试验地所有可能结果；
• 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；

2样本空间、随机事件

概念

• 样本空间
  随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S
• 样本点
  样本空间的元素，即E的每个结果，成为样本点
• 事件
  试验E的样本空间S的子集为E的随机事件
• 事件发生
  在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现
• 基本事件
  由一个样本点组成的单点集
• 必然事件
  样本空间S包含所有的样本点是S自身的子集，在每次试验中总是发生的

事件关系与事件的运算

• 包含
  若A $\subset$B，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B的发生。
• 相等
  若A$\subset$B,且B$\subset$A,即A=B，则称事件A与事件B相等。
• 和事件
  事件A$\bigcup$B={x|x$\in$A或$\in$B},即当且仅有A,B中至少有一个发生时，事件A$\bigcup$B发生。$\bigcup _{k=1}^n{A}_k$ 称为n个事件$A_1$,$A_2$,$\cdots$ $A_n$的和事件。
• 积事件
  事件A$\bigcap$B={x|x$\in$A且$\in$B}称为事件A与事件B的积事件，当且仅当A,B同时发生时，事件A$\bigcap$B发生，A$\bigcap$B也记作AB。类似的，$\bigcap _{k=1}^n{A}_k$为n个事件$A_1$,$A_2$,$\dots$$A_n$的积事件。
• 差事件
  事件A-B={x$\in$A且x$\notin$B}称为事件A与事件B的差事件，当且仅当A发生，B不发生时，事件A-B发生。
• 互不相容
  A $\bigcap$B=$\varnothing$，则称事件A与事件B是互不相容的，或者互斥的，这里是指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的。
• 逆事件、对立事件
  A $\bigcap$B=$\varnothing$$且 A $\bigcup$ B=S，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B护卫对立事件。对于每次实验而言，事件A、B中必有一个发生，且只有一个发生。

定律

• 交换律
  A$\bigcup$B=B$\bigcup$A
  A$\bigcap$B=B$\bigcap$A
• 结合律
  A $\bigcup (B\bigcup C)=(A\bigcup B)\bigcup C$
  A $\bigcap (B\bigcap C)=(A\bigcap B)\bigcap C$
  分配律
  $A\bigcup (B\bigcap C)=(A\bigcup B)\bigcap (A\bigcup C)$
  $A\bigcap (B\bigcup C)=(A\bigcap B)\bigcup (A\bigcap C)$
• 德摩根律
  $\overline{A\bigcup B}$=$\overline{A}$ $\bigcap$$\overline{B}$
  $\overline{A\bigcap B}$=$\overline{A}$ $\bigcup$ $\overline{B}$

3 频率与概率

频率

• 概念
  描述事件发生的频繁程度，表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数。
  在相同的条件下，进行了$n$次试验，在这$n$次试验中，事件A发生的次数$n_A$称为事件A发生的频数，比值$n_A/n$称为事件A发生的频率，并记成$f_n(A)$
• 性质
  0$\le$$f_n(A)$$\le$ 1
  $f_n(S)$=1
  若$A_1$,$A_2$,$\dots$,$A_k$是两两互不相容的事件，则
  $$f_n(A_1\bigcup A_2\bigcup \dots \bigcup A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+\dots +f_n(A_k)$$

概率

• 定义

1. 非负性：对于每一个事件A，都有$P(A)\ge 0$
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S)=1
3. 可列可加性：设$A_1,A_2,\dots$是两两互不相容的事件，即对于$A_i{A}_j=\varnothing$,$i$≠$j, $i,j=1,2,\dots$，有
   $$P(A_1\bigcup A_2\bigcup \dots )=P(A_1)+P(A_2)+\dots$$

• 性质1
  设A，B是两个事件，若$A\subset B$，则有$$P(B-A)=P(B)-P(A);$$$$P(B)\ge P(A)$$
• 性质2
  对于任意两事件A，B有
  $$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P（AB）$$
  对于任意n个事件$A_1,A_2,\dots ,A_n$,可以用归纳法证得

$$P(A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots \bigcup A_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{1\le i<j\le n}P(A_i{A}_j)+\sum _{1\le i<j<k\le n}P(A_i{A}_j{A}_k)+\cdots +(-1{)}^{n-1}P(A_1{A}_2\dots A_n)$$