NOI Online 2020 Day1 T1 序列（并查集缩点+ 二分图染色 + 贪心）

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Solution

对于操作二，如果有三个数 $a_1\sim a_3$ 有 $(a_1,a_2,2)$ 和 $a(a_2,a_3,2)$，那么可以将 $a_1+1,a_2-1,a_2+1,a_3-1\Rightarrow (a_1,a_3,2)$。这意味着如果用并查集将有传递性的数加入一个联通块中，那么会有若干个联通块，每个联通块中任意两个数都可以进行操作二。那么如果一个联通块中需要加的值与需要减的值相同，那么一定是合法的。所以把每个联通块缩成一个点，点权为要加的值减去要减的值。

可能有的点权不合法，考虑操作一。如果有 $(a_1,a_2,1),(a_1,a_3,1),(a_2,a_3,1)$，那么可以构成 $a_i\pm 2$，然后 $a_1,a_2,a_3$ 所在的联通块中任意一个数可以通过 $a_1,a_2,a_3$ 来白嫖 $a_i\pm 2$。如果将操作一对应的点连起来，那么这三个点构成了奇环，原图就不是二分图了，这个可以 bfs 或 dfs 染色求。

不过可能有自环，要特判一下。因为自环相当于 $(a_1,a_2,1)$ 和 $(a_1,a_2,2)$ 那么 $a_1+1,a_2-1,a_1+1,a_2+1$ 同样也可以构成 $a_i\pm 2$。

如果是二分图，那么两边只能同时加一或减一，所以有边相连的差值相同才能 YES。如果不是二分图，那么还可以白嫖加二或减二，所以有边相连的差值是偶数也是 YES。对于所有没边相连的点，点权必须为 $0$ 才能是 YES。

时间复杂度 $O(n\log n)$。我没按秩合并 /kk。

Code

#include 
using namespace std;
#define int long long
const int N = 2e5 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read() {
	int x = 0, f = 0; char ch = 0;
	while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
struct edge{
	int to, nxt;
}e[N];
int head[N], tot;
void addedge(int x, int y) {
	e[++tot].to = y, e[tot].nxt = head[x], head[x] = tot; 
}
int a[N], b[N], f[N], t[N], x[N], y[N], val[N];
int find(int x) {
	if (f[x] == x) return x;
	return f[x] = find(f[x]);
}
void merge(int x, int y) {
	x = find(x), y = find(y);
	if (x != y) f[x] = y, val[y] += val[x]; 
} 
int col[N], sum, flg;
void dfs(int x, int c) {
	col[x] = c;
	if (c) sum += val[x];
	else sum -= val[x]; 
	for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
		int y = e[i].to;
		if (col[y] == -1) dfs(y, c ^ 1);
		else if (col[x] == col[y]) flg = 1;
	}
}
signed main() {
	int T = read();
	while (T--) {
		memset(col, -1, sizeof(col)); 
		memset(head, 0, sizeof(head)); tot = 0;
		int n = read(), m = read();
		for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
		for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = read();
		for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = i, val[i] = a[i] - b[i];
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			t[i] = read(), x[i] = read(), y[i] = read();
			if (t[i] == 2) merge(x[i], y[i]);
		}
		for (int i = 1; i <= m; i++) 
			if (t[i] == 1) addedge(find(x[i]), find(y[i])), addedge(find(y[i]), find(x[i]));
		bool ok = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) 
			if (find(i) == i && col[i] == -1) {
				sum = flg = 0;
				dfs(i, 0); 
				for (int j = head[i]; j; j = e[j].nxt)
					if (e[j].to == i) {
						flg = 1; break;
					}
				if (head[i] == 0) ok &= (sum == 0);
				else if (flg) ok &= (sum % 2 == 0);
				else ok &= (sum == 0);
			}
		if (ok) puts("YES");
		else puts("NO");
	} 
	return 0;
}