剑指offer：面试题10- I. 斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

提示：

0 <= n <= 100

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解题：

方法一：递归

(1)递归：函数自己调用自己
(2)递归的"缺陷"：递归到一定程度，会发生"栈溢出"
(3)递归的"时间复杂度"：递归总次数*每次递归的次数
(4)递归的"空间复杂度"：递归的深度*每次递归空间的大小（注意："每次递归空间的大小"是个常数，可以基本忽略不计）
    递归的"深度"：树的高度（递归的过程是一个"二叉树"）

• 时间复杂度

假设n对应复杂度T(n)，由于if( n <= 1 )执行1次，f(n-1)执行1次，f(n-2)执行1次，然后f(n-1)和f(n-2)执行一次，因此有T(n)=T(n-1)+T(n-2)+4，忽略次要项，得到T(n)=T(n-1)+T(n-2)，根据数学知识可得通项式为

下面继续分析下，不通过数学计算，估算其上下极限

上限：令T(n-2)约等于T(n-1)，则T(n)=T(n-1)+T(n-2)=2T(n-1)=2*2*T(n-2)=....=2^n*T(0)=2^n，即为O(2^n)

下限：令T(n-1)约等于T(n-2)，则T(n)=T(n-1)+T(n-2)=2T(n-2)=2*2*T(n-4)=....=2^(n/2)*T(0)=2^(n/2)，即为O(2^(n/2))

所以最后可得到结果，其时间复杂度结果位于O(2^(n/2))和O(2^n)之间

• 空间复杂度

跟所有递归调用一样，每次调用一次，都会进行压栈操作，因此下面分析函数调用时栈空间情况，要求f(n)会执行f(n-1)+f(n-2)需要压栈一次，然后求f(n-1)会执行f(n-2)+f(n-3)需要压栈一次，....，最后直到到f(1)，这里以f(5)为例，那么栈情况如下图所示

递归算法的空间复杂度：递归的深度*每次递归所需的辅助空间的个数。
而树的高度即为递归的深度。
则易知空间复杂度为O（n）。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n==0) return 0;
        if(n==1) return 1;
        return (fib(n-1)+fib(n-2))%1000000007;
    }
};

方法二：动态规化法

动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划(DP)。

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

class Solution {

public:
    int fib(int n) {
        if(n==0) return 0;
        int func1=0;
        int func2=1;
        for(int i=2;i<=n;i++) {
            int temp=f2;
            func2=(func1+func2)%1000000007;
            func1=temp;
        }   
        return func2;
    }
};