第六章计算机的运算方法

6.1无符号数和有符号数

一、无符号数

二、有符号数

1.机器数与真值

2.原码表示法

故利用补码来做减法

3.补码表示法

-1011=+0101(mod 2⁴)

• 1011用8421法看出为11，模为2⁴即为16。16-11=5即8421法得0101。故：-1011=+0101(mod 2⁴)
• 也可用二进制减法做，2⁴为10000，10000-1011=+0101
  
  为了多个符号位，之前的计算用的2⁴与现在符号位需要的2⁴；2个2⁴相加为2⁵，故用2⁵作为模
  
  
• 此时小数是mod 2,若是mod 4则小数的前面是2位.mod 8则小数的前面是3位。mod 16则小数的前面是3位
  
  
  真值为负时，补码转到原码符号位不变，每位取反，末位加1
  
  
  70=64+4+2即是1000110
  负数的补码更好算的方法：符号位不变，X₁的非，X₂的非到X_K的非，后面的10000等照写，得到的就是这个负数的补码
  -1有补码无原码。

4.反码表示法

除符号位，负数的反码:各位取反，末位不加

(1)当Y是正数的情况，（2）为当Y是负数的情况

5.移码表示法

31用32-1表示即2⁵-1即100000-1为11111

补码换到移码符号位取反即可

6.2 数的定点表示和浮点表示

定点表示

浮点表示

尾数的绝对值<=1,阶码是整数。
r=2：尾数当中每一位二进制数表示了尾数中的一位2进制数。
r=4：尾数当中的两位二进制数表示一位4进制的尾数
r=8：尾数中的三位二进制数表示一位8进制的尾数
r=16：4位二进制数表示一位16进制数

 当r=2 N=11.0101——>=0.110101×2¹⁰因为右移两位数据，数据本身大小变为原来的1/4，则阶码部分变为10，10是二进制表示即十进制中的2即2²即就是4
 N=0.00110101×2¹⁰⁰小数点往左移了四位，变为原来的1/16,阶码中而二进制中的100就是4.即2⁴=16
二进制：-11，-10，-1，0，1，10，11

r=2——>左规：数据向左移动；右规：数据向右移动，数据值变为原来的1/2


19=16+2+1即10011
19/128即将10011除128，128=2⁷即10011数据相对于小数点右移7位；每移一位相当于除以2。变为0.0010011
浮点机当中用分号将阶码和尾数隔开

6.3 定点运算

一、移位运算

对于计算机来说，都是数据移动而小数点的位置不变
左移一位，机器数的真值变为原来的2倍；右移变为原来的1/2倍，有时可能因为低位丢掉影响了精度

左移最高位会被丢掉，最低位补；
右移最低位丢掉，符号位的下一位高位补
即空出的地方补

左移一位，真值变为原来的2倍
对于正数，三种机器数移位后符号位均不变，左移时最高位丢1，结果出错；右移时最低位丢1，影响精度。

负数原码左移时，高位丢1，结果出错，右移时，低位丢1，影响精度

负数的补码左移时，高位丢0(原码的1），结果出错；右移时，低位丢1，影响精度

第一行第四个：左移——>负数的反码最低位添1，最高位丢掉，符号位不变
第二行第四个:右移——>负数的反码最高位添1，最低位丢掉

算数移位符号位不参与移位运算，逻辑移位全部参与移位运算
可以用带进位的移位将丢掉的最高位记录在进位中

二、加减法运算

• 对整数来说mod 2ⁿ⁺¹不管是正数还是负数它(A)的补码形式都可以用X+2ⁿ⁺¹表示(不用区分加数或被加数的正负，直接A的补码表示为2ⁿ⁺¹+A)
• 对小数来说，A的补码可以直接变为2+A
• 对于补码，连同符号位一起运算，和的符号通过计算过程自动产生，符号位产生的进位自动丢掉

由[A+B]_补求A+B——>直接将[A+B]_补取反末位加1

== -B的补码=将B的补码数值位每位取反，末位加1==
练习一：在小数定点机中计算结果为大于1的数发生溢出
练习二：整数定点机中机器字长为8位计算结果-138超出了这种机器所能表示的范围(-128~127)，发生上溢

溢出判断

数值最高位进位和符号位进位不同(异或结果为1)则溢出

 当两位符号位不同，表示溢出。不论是否发生溢出，高位符号位表示真正的符号。
双符号位的模可以变为2ⁿ⁺²

G_A，G_S标记做加法、减法。

在整数定点机中，机器数采用补码，双符号位，若它的十六进制表示为C0H，则它的真值为（-64）。

三、乘法运算

最终结果就是0.1000 1111

原码一位乘法

部分积右移最低位被移到乘数的最高位当中得新的部分积，乘数也右移，最低位丢掉

移位次数控制乘法操作的结束
乘数最后一位为1，部分积+X，右移一位
乘数最后一位为0，部分积+0，右移一位
最后符号位异或

补码一位乘法

2^-n=2^-n+1-2^-n
第一位可以看出最后一位没有移位

• 第三列为附加位，开始的时候此位=0.
• 比较第三列和第二列最后一位（0-1=-1）,则需要加上[-x]_补再右移(因为是补码则算数右移)，此时补码是负数右移补1。等等依次类推步骤
• 第二行第一列，蓝色的1是由于此时补码是负数右移补1
• 第三行第一列，蓝色的0是由于此时补码是正数右移补0
• 到第五行，0-1=-1则加上[-x]_补。得到结果，此时不用再移位——>最后一步不移位。

[X.Y]中Y为负数，加上[-x]_补;Y是正数则不用

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 符号位参与运算，得到的也是补码形式
 被乘数x取双符号参与运算，部分积初值为0。
 乘数y取单符号位，乘数y末位增加一个附加位0.
判断y的最后两位：

• 倒数第一位-倒数第二位=0——>直接右移一位
• 倒数第一位-倒数第二位>0——>加x_补后右移
• 倒数第一位-倒数第二位<0——>加-x_补后右移
• 最后一位不右移

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四、 除法运算

• 被除数0.1011小于除数0.1101，上商为0，然后被除数后添0和右移一位的除数作比较。此时被除数大于右移一位的除数则上1。相减，得数添0与右移两位的除数比较。
  

原码除法

若不满足约定，即，小数定点运算中被除数的绝对值>除数的绝对值，(即第一步发现上商为1)——>发生溢出
整数定点除法中被除数的绝对值>除数的绝对值，则发生了溢出

• 第一行上商后+[-y*]_补,得到第二行第一列的余数为负数，商上为0不能上1则说明减法操作不对，要把被减掉除数之后的余数要进行恢复——>加上y的补码恢复余数
• 此时得到的余数值与原来的被除数相同，将此时余数的值左移(逻辑左移)一位
• 移位后的再做减法操作和[-y*]_补进行比较
  依次循环
  余数正，上商1，左移一位(被除数和商都左移)，减除数；据它的值再进行上商.
  余数为负，上商0，加除数y恢复余数，余数左移一位，再减去除数y得到新的余数。再判断新的上商是上0还是1；若这个新的余数>0,则上商1；余数<0，则上商0。

余数>0,上商为1，余数左移一位并加上[y*]_补除数
余数<0,上商为0，余数左移一位并加上[-y*]_补除数
最后符号位异或

第一次上商是1则溢出

补码除法

余数[R_i]_补与[y]_补同号——>上商为1，新余数左移一位+[-y]_补
余数[R_i]_补与[y]_补异号——>上商为0，新余数左移一位+[y]_补
最后一步，左移一位，末位商恒置1

6.4 浮点四则运算

浮点运算的特点：阶码(指数)运算和尾数(基值)运算分开进行

一、浮点加减运算

• 阶码对齐则可以进行加减运算
• 求阶差用补码形式实现
• 阶码减小一位，尾数就要左移一位保证数据不发生变化
• 而计算机中x向y看齐，尾数左移有可能使1被移掉，引发错误，故尾数左移并不合适
• 若y向x看齐，最右侧数据位丢失，只会影响精度而不影响大小
• 小阶向大阶看齐
  
• 这道题中阶码四位，阶符占了两位；尾数六位，尾符占了两位。
• 阶码在前；尾数在后(2位阶符，2位阶码；2位尾符.4位尾数)
• j_x补-j_y补=j_x补+[-j_y补]
• [-j_y补]=原码取反加1
• 对阶后就可以尾数求和，但此时得到的是不规格化的数
  
• 规格化是为了尽可能的提高在计算机中浮点数的表示精度
• 若尾数的基值r=4，则$\frac{1}{4}\le |S|<1$
• S表示尾数
• 原码无论正负，第一位数总为1
• 补码，符号位和第一数位不同
  
  
• 尾数的绝对值大于1，尾数溢出要右规
• 两个正数相加就可能会造成01.XXXXX这种形式的溢出

阶符、数符均取2位

• 恒置1法，不管末位丢掉什么数据，计算结果的最低有效位均为1
• 如果采用0舍1入法进行舍入处理，则0.01010110011舍去最后一位后，结果为（0.0101011010）。

• 整个浮点数发生的溢出，阶码比+127还大就发生了上溢；
• 阶码比-128还小就是下溢。下溢作为0看，上溢进入出错处理
• 在浮点数中，当数的绝对值太小，以至于小于能表示的数据时，称为浮点数的下溢

二、浮点乘除运算

设浮点数阶码为双符号位补码表示，尾数用单符号补码或原码表示

1. 阶码相加减(乘积阶码为[j_x]_补+[j_y]_补；商的阶码为[j_x]_补-[j_y]_补)
2. 尾数相乘或除；被除尾数的绝对值一定小于除数尾数的绝对值
   若被除数尾数绝对值大于除数尾数绝对值，则被除数进行调整——>被除数尾数右移，阶码+1，直到|被除数尾数|<|除数尾数|
3. 结果向左规格化并舍入处理
4. 判断溢出：尾数不可能发生溢出，运算结果可能发生溢出

6.5 算数逻辑单元

一、ALU电路

运算器

• A_i、B_i表示参加运算的数据，F_i为输出。
• K_i决定是什么类型的运算
• 输入、输出端都要连接寄存器，保存运算结果
• 影响加法器运算速度的就是进位链

二、快速进位链

• A、B输入，C_-1低位进位。C₁向高位的进位，S某一位的输出和。
• 若进位快，则运算结果快
• 若t_i=1,那么C_i=C_i-1
  
  d₁=A₁×B₁;
  t₁=A₁或上B₁
  串行运算器结构简单，其运算规律是（由低位到高位逐位运算）。
  
  电路太过复杂
  
  
  
• 双重分组跳跃进位链是将n位全加器分为几个大组，大组内又包含若干小组，每个大组内所包含的各小组的最高位进位是同时产生的，大组和大组采用串行进位。