MPU6050 获取角度理论推导(一)

当你搜到这篇文章的时候说明你已经在做陀螺仪的项目了。

那么陀螺仪具体的东西应该不用多说，他其实就是一个获取原始数据然后通过DMP或者MCU的计算处理，

然后得到角度的一个传感器。

MPU6050内部集成了一个陀螺仪一个加速传感器还有DMP计算单元。

陀螺仪是提供实时的三轴角速度，其中三轴分辨是Pitch, Roll,Yaw。简单来说我们视之为XYZ三轴。

还有三轴加速度，加速计时用来获取三轴方向的实时加速度值。

所以三轴陀螺仪+三轴加速计  就是6轴数据的融合了。

如果再配合一个三轴的磁力计，那么就变成9轴数据融合了。

这里先和大家说一下自己的亲身体验。

9轴的陀螺仪，带有磁力计。可以维持Yaw方向不漂移。但是对磁场的要求相对较高。放到实际产品中的时候要考虑如何避免

产品中磁场的影响。这样才能保证稳定性。

6轴的陀螺仪虽然Z轴会漂，但是使用软件滤波的方法还是可以维持一段时间稳定性的。且对磁场没有要求。

 

接下来我们来剖析一下陀螺仪6轴和9轴的融合原理。

原文我忘记是哪里的了，地址就不贴了(找到了再补上)，也是参考别人的。

 

• 姿态角解算---理论推导

 

姿态航向参考系统(AHRS)。

首先我们需要了解两个坐标系：

导航坐标系(n): 导航坐标系 n 指的是以地球为参考的坐标系，定义为东北天右手直角坐标系。

载体坐标系(b): 载体坐标系 b 则是以四轴飞行器自身为参考的坐标系， 也定义为右手直角坐标系。

例如：飞机向前的方向为 Y 轴正方向，取飞机向右的方向为X轴正方向，取飞机向上的方向为Z轴正方向。 

 

四元数、欧拉角、方向余弦： 

在百度百科中，欧拉角是这样被描述的：用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。简单点来说，就是：绕Z轴旋转为偏航角（YAW）ψ，绕Y轴旋转为横滚角（ROLL）θ，绕X轴旋转为俯仰角（PITCH）φ。

 

绕Z轴旋转ψ角（YAW）：

 

定义导航坐标系 n 中某一点的坐标为（x，y，z），使用矩阵表示为: (注意这里是x y z，不是图中的x’ y’ z’)。

设该点在载体坐标系中坐标为（x’，y’，z’），使用矩阵表示为： 。

 

对于该任意点，易得到两个坐标系下坐标之间的关系：

 

表示成矩阵的形式如下：

 

同理可得： 
绕Y轴旋转θ角（ROLL）： 

 

两个坐标系下的转换关系：

 

绕X轴旋转φ角（PITCH）：

两个坐标系下的转换关系：

 

由前面的结论可以得到进过三个欧拉角的旋转，得到导航坐标系下的向量 与旋转后的载体坐标系下的向量 之间的关系： 

 

给出由 到 的坐标变换矩阵：

 

所以可以得到用欧拉角表示的坐标变换矩阵： 

这样我们就得到了使用欧拉角表示的坐标变换矩阵，这个公式先放在这里，等会再用。

 

接下来我们来看看四元数： 

四元数是简单的超复数。

复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i^2 = -1。

相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是实数。

对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

这里已经讲得比较清楚了，我们可以把四元数看成一个常数加上一个三维矢量，即 。

 

四元数的乘法运算：

对于任意一个四元数 来说，q0、q1、q2、q3都是实数，i、j、k为互相正交的单位向量，也是虚单位 。 

 

 

 

 

满足乘法关系如下：

 

举例：假设有两个四元数，

则这两个四元数相乘结果为：

将上面的运算表示成矩阵形式：

设两个四元数Q和P的乘积为四元数

 

或者

 

从M(Q)中，第一列为四元数Q本身，第一行为四元数Q的共轭的转置，不管第一行和第一列，我们可以提取出一个3*3的矩阵VQ，称其为M(Q)的核。 

同理可得，M(P)的核VP： 

四元数的相关知识的准备差不多完成了，下面开始推导四元数的公式： 
我们定义一个四元数 ，用来表示从导航坐标系n和载体坐标系b之间的旋转变换：

 

可以得到旋转矩阵 的数学关系：

 

到这里我们就推出了使用四元数表示的旋转矩阵 ：

 

联立两者对应项相等，求解方程组即可。解方程的步骤就省略了，直接写出结果。令：

 

推出结果：

 

前面我们用欧拉角推导出来的旋转矩阵 也可以叫做方向余弦矩阵（DCM），使用的是Z-Y-X顺规，不做赘述，有兴趣可以再去查找相关资料。 

这里我们代入方向余弦矩阵对应项的值求出欧拉角与四元数的关系，并做一些三角函数的变换整理得到下面的形式：

上式是欧拉角用表示四元数的公式。 
还是由方向余弦矩阵（DCM）可以得到： 

 

 

 

这四个公式的意义是，给出了四元数与欧拉角之间的关系，我们可以很方便地使用这几个公式将欧拉角与四元数相互转换。还需要注意一点，因为方向余弦矩阵的定义不同，对应的欧拉角旋转方式不同，公式也会不同。