AGM算法
令 G ( V , E , L V , L E , φ ) G(V,E,L_V,L_E,\varphi) G(V,E,LV,LE,φ)表示一个带标签的图，其中 V V V和 E E E分别表示顶点集和边集， L V L_V LV和 L E L_E LE分别表示顶点和边的标签集， φ \varphi φ是一个标签函数定义了 V → L V V \to L_V V→LV和 E → L E E \to L_E E→LE的映射。
FSM算法根据操作的数据不同，可以分为针对图数据库的和针对一个大图的（现在只讨论exact match方法）。
根据每个顶点标签的id对顶点进行排序，然后根据该顺序生成邻接矩阵 X k X_k Xk， k k k表示顶点个数。邻接矩阵中每个元素表示该边标签的id。
对于
X k = ( x 1 , 1 x 1 , 2 x 1 , 3 ⋯ x 1 , k x 2 , 1 x 2 , 2 x 2 , 3 ⋯ x 2 , k x 3 , 1 x 3 , 2 x 3 , 3 ⋯ x 3 , k ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x k , 1 x k , 2 x k , 3 ⋯ x k , k ) X_k=\begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} &\cdots &x_{1,k}\\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & \cdots &x_{2,k}\\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & \cdots &x_{3,k}\\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ x_{k,1} & x_{k,2} & x_{k,3} & \cdots &x_{k,k}\\ \end{pmatrix} Xk=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛x1,1x2,1x3,1⋮xk,1x1,2x2,2x3,2⋮xk,2x1,3x2,3x3,3⋮xk,3⋯⋯⋯⋱⋯x1,kx2,kx3,k⋮xk,k⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
如果是无向图，则 c o d e ( X k ) = x 1 , 1 x 1 , 2 x 2 , 2 x 1 , 3 x 2 , 3 x 3 , 3 x 1 , 4 ⋯ x k − 1 , k x k , k code(X_k)=x_{1,1}x_{1,2}x_{2,2}x_{1,3}x_{2,3}x_{3,3}x_{1,4}\cdots x_{k-1,k}x_{k,k} code(Xk)=x1,1x1,2x2,2x1,3x2,3x3,3x1,4⋯xk−1,kxk,k
如果是有向图，则 c o d e ( X k ) = x 1 , 1 x 1 , 2 x 2 , 1 x 2 , 2 x 1 , 3 x 3 , 1 x 2 , 3 x 3 , 2 ⋯ x k − 1 , k x k , k − 1 x k , k code(X_k)=x_{1,1}x_{1,2}x_{2,1}x_{2,2}x_{1,3}x_{3,1}x_{2,3}x_{3,2}\cdots x_{k-1,k}x_{k,k-1}x_{k,k} code(Xk)=x1,1x1,2x2,1x2,2x1,3x3,1x2,3x3,2⋯xk−1,kxk,k−1xk,k。
对于一个子图 G s G_s Gs，定义它的支持度 s u p ( G s ) sup(G_s) sup(Gs)为数据库中包含该子图的图的个数与总数的比值。
如果两个邻接矩阵 X k X_k Xk， Y k Y_k Yk除了第 k k k行和第 k k k列不同外，其余元素均相同，则将两个矩阵合并生成 Z k + 1 Z_{k+1} Zk+1。如下所示：
X k = ( X k − 1 x 1 x 2 T x k k ) X_k = \begin{pmatrix} X_{k-1} & \boldsymbol {x_1}\\ \boldsymbol {x^T_2} & x_{kk}\\ \end{pmatrix} Xk=(Xk−1x2Tx1xkk)， Y k = ( Y k − 1 y 1 y 2 T y k k ) Y_k = \begin{pmatrix} Y_{k-1} & \boldsymbol {y_1}\\ \boldsymbol {y^T_2} & y_{kk}\\ \end{pmatrix} Yk=(Yk−1y2Ty1ykk)
Z k + 1 = ( X k − 1 x 1 y 1 x 2 T x k k z k , k + 1 y 2 T z k + 1 , k y k k ) Z_{k+1} = \begin{pmatrix} X_{k-1} & \boldsymbol {x_1} & \boldsymbol {y_1}\\ \boldsymbol {x^T_2} & x_{kk}& z_{k,k+1}\\ \boldsymbol {y^T_2} &z_{k+1,k}& y_{kk}\\ \end{pmatrix} Zk+1=⎝⎛Xk−1x2Ty2Tx1xkkzk+1,ky1zk,k+1ykk⎠⎞，也可写成
其中，新矩阵中的元素满足下列关系：
如果是无向图，那么 z k + 1 , k z_{k+1,k} zk+1,k和 z k , k + 1 z_{k,k+1} zk,k+1相同。该合并操作可以产生多个 Z k + 1 Z_{k+1} Zk+1矩阵，这是因为 v k v_k vk和 v k + 1 v_{k+1} vk+1的构成的边的label可以有多种选择，因为图数据库中不同的图中这两个点之间的边的不同，也就造成了该边的label的不同，因此 z k + 1 , k z_{k+1,k} zk+1,k和 z k , k + 1 z_{k,k+1} zk,k+1有多个选择，还有一种选择是没有边，既0。
当 X k X_k Xk和 Y k Y_k Yk中的 v k v_k vk的label相同时，交换 X k X_k Xk和 Y k Y_k Yk后生成的矩阵是一样的，为了避免这种情况，只有当 c o d e ( t h e f i r s t m a t r i x ) < = c o d e ( t h e s e c o n d m a t r i x ) code(the\ first\ matrix)<=code(the\ second\ matrix) code(the first matrix)<=code(the second matrix)时才生成矩阵，生成的矩阵也被称为normal form。只有当大小为 k + 1 k+1 k+1的图 G G G的所有 k k k子图都是频繁子图时， G G G才是频繁子图候选项。
如果通过删除一个节点得到的子图不是normal form，必须将其转换成normal form之后才能判断该子图是否已经生成过。通过以下步骤，可以将一个non-normal form 的矩阵 X k X_k Xk转换成normal form的矩阵 X k ′ X'_k Xk′：（1）对 X k X_k Xk中的每个节点生成一个 1 × 1 1 \times 1 1×1的邻接矩阵；（2）对于点 v i , v j ∈ G ( X k ) v_i,v_j \in G(X_k) vi,vj∈G(Xk)，如果其邻接矩阵符合合并条件，则合并；（3）不断地合并新生成的矩阵，知道获得了一个 k × k k \times k k×k的矩阵 X k ′ X'_k Xk′。该过程涉及到的是行列式的操作，因此可以表示成 X k ′ = ( T k ) T X k T k X'_k=(T_k)^T X_k T_k Xk′=(Tk)TXkTk。
当所有候选子图生成后，需要统计每个子图的支持度。但是每个图的normal form并不是唯一的。因此需要将代表同一个子图的不同的normal form的支持度加在一起。为了索引代表同一个子图的不同normal form，定义了normal form的canonical form。定义 G G G的canonical form是 G G G的normal form中 c o d e code code最小的。令 X k − 1 m X^m_{k-1} Xk−1m表示 G ( X k ) G(X_k) G(Xk)移除点 v m v_m vm后得到的图。 X k − 1 ′ m X^{'m}_{k-1} Xk−1′m表示 X k − 1 m X^m_{k-1} Xk−1m经过 T k − 1 m T^m_{k-1} Tk−1m变换后得到的normal form。 X k − 1 ′ m X^{'m}_{k-1} Xk−1′m经过 S k − 1 m S^m_{k-1} Sk−1m变换后得到canonical form。整体过程可表示为 ( T k − 1 m S k − 1 m ) T X k − 1 m T k − 1 m S k − 1 m (T^m_{k-1}S^m_{k-1})^TX^m_{k-1}T^m_{k-1}S^m_{k-1} (Tk−1mSk−1m)TXk−1mTk−1mSk−1m。
那么我们可以用 S k m S^m_k Skm和 T k m T^m_k Tkm将 X k X_k Xk转换成canonical form X c k X_{ck} Xck。而 S k m S^m_k Skm和 T k m T^m_k Tkm又可以通过 S k − 1 m S^m_{k-1} Sk−1m和 T k − 1 m T^m_{k-1} Tk−1m获得。具体过程如下所示：
寻找频繁子图时，对数据库中的每个图从1到k的构造子图，并计算每个子图的支持度。