图——牛客网刷题第一波

这几天树和图掺和着来，没有严格地区分，一块复习吧……

1.设G是有p个顶点q条边的（简单）无向图，且G中每个顶点的度数不是k就是k+1，则G中度为k的顶点的个数是多少？（B）

A. p/2；

B. p(k＋1)－2q；

C. pk；

D. p(p+1)；

解析：因为顶点度数只有两种，所以设k度的顶点数为x，k+1的为(p-x)，又因为是无向图，所以顶点数乘以相应度数之和为图中边数的2倍(一条边代表一次入和一次出)，所以kx+(k+1)(p-x)=2q，解得x=p(k+1)-2q，选B

2.一个网(带权图)都有唯一的最小生成树(B)

A. 对

B. 错

解析：最小生成树可以有多个， 他们的权值相等且最小即可

3.树中的结点和图中的顶点就是指数据结构中的数据元素。（A）（有争议）

A. 正确

B. 错误

解析：数据元素：字段、域、属性

          数据项：元素、结点、顶点、记录

         数据项组成数据元素，数据元素组成数据

4.在下图的多边形ABCDE中从哪一点出发，可以遍历图上的每条边一次，而且仅遍历一次。（B）(略有争议)

A. A点

B. B点

C. C点

D. D点

解析：这是寻找欧拉回路问题:

无向图中，G有欧拉通路的充分必要条件为：G连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。

（1）无向图:  图连通，所有点都是偶数度，或者只有两个点是奇数度。当所有点是偶数度时欧拉路起点可以是任意

点；当有两个奇数度点时起点必须是奇数度点。

（2）有向图:  图连通，所有点出度=入度，或者有一个点入度-出度=1，有一个点出度-入度=1。同样，当所有点

出度=入度时任意点可作为起点；而后者必须以出度-入度=1的点做起点，入度-出度=1的点做终点。

5.给定一个如下所示的图，图中的边代表了两个节点间的距离。如果使用迪杰斯特拉算法对节点 1 和节点 8 求最短路径，则当完成计算时，算得节点 1 到节点 8 的最短路径是？同时当完成节点 1 到节点 8 的最短路径计算时，节点 1 到哪些节点（除了 1 和 8 ）的最短路径也已经计算完毕？（C）

A.最短路径：７；已经算得最短路的节点：３，５，６

B.最短路径：４；已经算得最短路的节点：５

C.最短路径：４；已经算得最短路的节点：２，３，５，４

D.最短路径：４；已经算得最短路的节点：５，６

解析：初始状态：路径长度0：（1）

           路径长度1：（1,5）

           路径长度2：（1,3）

           路径长度3：（1,3,4），（1,2）

           路径长度4：（1,5,8）

节点1到8的最短路径长度为4；     2,3,4,5节点的最短路径已经计算完毕；   其中到5节点的最短路径最小为1；

6.在用Floyd算法求解各顶点间的最短路径时,每个表示两点间路径的path(k-1) [I,J]一定是path(k) [I,J]的子集(k=1,2,3,…,n) (B)

A. 对

B. 错

解析：答案是不一定。

1、path (k-1) [I,J]表示的是，为从i到j的只以(1..k-1)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

2、path (k) [I,J] 表示的是，为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

因为 Floyd算法是一个经典的动态规划算法 ~

假设i和j分别是A和C ,如下图：

假设集合（k-1），包含ABC，k是D，所以不包含D，因此最短路径是ABC。。。。。

可是集合（k），包含ABCD，可是最短path是ADC。ABC不是ADC的子集。

注意，新加入的节点有可能改变最短路径！！

7.图示是一个网络流从s到t的某时刻快照。此时t处一共接收到10+13+16=39单位流量。每条横线上的数字表示当前流量和管道的容量。那么，该网络最大的流量是多少？（B）

A. 40

B. 41

C. 42

D. 43

解析：

法一：s出流量最大为11+22+10=43，而由于t4只能接收10，s1必定损失1，而t5最大接收为16,2到5最大为17，t5满则5到6只能为1，这样t6最大为15，故流量最大为10+16+15=41，此时s3、23、25、t4、t5为满

故最大流量为41

此时满负荷为s3、23、25、t4、t5

法二：技巧：  按层计算，瞻前顾后

首先计算每一层向终点方向的最大输出能力，不包括回流的量

然后计算总体的最大流量，为各个层中流量最小的一层的流量

本题中分为三层：

第一层为s。                        朝终点最大输出量为11+22+10 = 43

第二层为节点1、2、3。      朝终点最大输出量为10+17+14 = 41（10是因为节点4最多接受10，出度为10，14是因为节点3的入度为14，所以是14而不是16）

第三层为节点4、5、6。      朝终点最大输出量为10+16+16 = 42

所以综合考虑总体最大的流量只能41.

8.假设我们用d=(a1,a2,….a5)表示无向无自环图G的5个顶点的度数，下面给出的哪组值是可能的（B）

A. {3,4,4,3,1}

B. {4,2,2,1,1}

C. {3,3,3,2,2}

D. {3,4,3,2,1}

解析：首先要理解无自环是指一个顶点不能自己到自己，而不是图没有环，所以这题目的图是可以有环的。然后无向图边数最多和总度数最多的情况下，就是完全无向图，边数为E=n（n－1）/2条，总度数为边数的两倍即D=n（n－1）。所以只要边数小于等于E，度小于等于D，且总度数D是一个偶数，那么就都可以构成图。题目5个顶点，其完全无向图的边数为10，总度数为20，备选答案所有数字之和是偶数且不大于20的，即为答案。

9.某软件系统结构图如图所示，该结构图的深度为（B）。

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

解析：C，E指向的都是兄弟节点，不是子节点。

10.一个有向图D=(V,A)满足什么条件是V到V的一个映射的图？ (A)

A. 对任意v∈V, od(v)=1；

B. 对任意v∈V，id(v)=1；

C. 存在v∈V，od(v)=1；

D. 存在v∈V，id(v)=1。

解析：从Vi到Vj的映射，是指对于V中的每一个元素i，V中都有一个唯一的元素j与之对应，也就是 i--->j 唯一，出度=1。