以下为MIT18.06 线性代数第18课笔记，记于2018年12月16日。
本文用或者双竖线表示行列式。

行列式基本性质

性质1：

性质2：进行一次行交换，则行列式改变一次正负号

例如：

性质3a：

性质3b：

注意性质3a，3b中只是对每一行生效，而不是整个矩阵。竖线表示行列式，因此性质3a中表示t和行列式的乘积，而不是标量t和整个矩阵相乘。
以上三个性质是基本性质，接下来讨论的性质是它们的推论。课上没有提到三个基本性质的来源和原理，姑且不管它。

性质4：如果有两行相同，则

根据性质2，行交换会改变符号，而两行相同，则表示交换后矩阵无变换，行列式就无变化。行列式无变化而同时又能改变符号的情况只有。

性质5：从一行减去另一行的倍数，不会改变行列式

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & b \\ c-la & d-lb \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b \\ -la & -lb \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} - l\begin{vmatrix} a & b \\ a & b \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \end{aligned}$
其中分别用到了性质3b、3a、4。

性质6：有一行全为0，则

根据性质3a，如果t=0，则可以推出性质6。

性质7a：U是一个n阶的上三角矩阵，则有

首先，通过行变换可以把U转换成：这样只剩主元的形式。
利用性质3a和性质1，每次从其中一行提一个系数出来，最终只剩下一个单位矩阵。
$\begin{aligned} \begin{vmatrix}d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_n\end{vmatrix}= d_1\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_n\end{vmatrix}= d_1d_2..d_n\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}= d_1d_2...d_n \end{aligned}$

性质7b：L是一个n阶的下三角矩阵，同理也有

性质7实际上是一个相对方便的计算行列式的方法，可以作为公式记忆。

性质8：若矩阵A是奇异矩阵，则；若矩阵可逆，则

显然（行列式不为0）和矩阵可逆（满秩）是等价的。

性质9a：

$\begin{vmatrix} a_1 & 0 & 0\\ 0 & a_2 & 0 \\ 0 & 0 & a_n \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_1 & 0 & 0\\ 0 & b_2 & 0 \\ 0 & 0 & b_n \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_1b_1 & 0 & 0\\ 0 & a_2b_2 & 0 \\ 0 & 0 & a_nb_n \end{vmatrix}$
不难看出上面的式子是成立的。而对于更一般情形的矩阵，可以变换成上面的形式，且根据性质5，变换的过程中行列式不变。

性质9b：，也即

这里的A是可逆的（前提），那么我们可以断定其行列式不为零，否则性质9b的等式不可能成立。
类似的推论：
如果是矩阵乘以标量，即每一行每一个元素都乘以k。

性质10：

如果，且作分解，则有。
则有。上（下）三角矩阵转置后的对角线是不变的，又根据性质7a和性质7b，可知其行列式也是不变的，因此该等式恒成立，反推回去，性质10成立。

补充一条性质：行列式只适用于方阵，不适用于长方形矩阵。

以下为MIT18.06 线性代数第19课笔记，记于2018年12月19日。

接下来，试图导出一个计算行列式的普遍的公式，先看二阶矩阵：

根据性质3b，可以把看作，看出，拆分就得到：

还可进一步拆分为：
$\begin{vmatrix}a&0\\c&0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}0&b\\0&d\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}$
根据性质7，可以知道前一项是ad，后一项需要交换行得到-bc。因此原矩阵的行列式就是。

对于三阶矩阵，也用类似的方法进行拆分，如下为只拆分第一行，分成3项。在保持各项第一行和第三行不变的情况，又拆分第二行，以此类推，一共拆成27行。其实相当于每一行选一个不为0，考虑所有的排列情况，。
$A = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$
这27项中，某一列全为0的项我们可以直接忽略，因为其行列式为0。于是我们可以这样考虑，第一行选一个位置不为零，第二行就还有2个位置可以选，否则必然会有一列为全0。因此总共的选法是。即不为0的项一共6项。我们把它们罗列出来：
$\begin{aligned} \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}&= \begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&0&a_{23}\\0&a_{32}&0\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&0&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix} \\&+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\0&0&a_{23}\\a_{31}&0&0\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\0&a_{22}&0\\a_{31}&0&0\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&0&0\\0&a_{32}&0\end{vmatrix} \end{aligned}$
根据对角线的乘积和适当的行变换，我们有：

根据同样的原理，我们可以得到一个通用的计算行列式的公式，表示n阶矩阵：

其中，到表示的是数字1到n的某一种排列。不过这个公式没有体现具体哪一项的符号是正，哪一项是负。

代数余子式

对三阶矩阵的行列式计算公式稍作变形：

其中括号里的部分，就叫代数余子式。体现在矩阵中，这几项可以表示成：
$det=\begin{vmatrix}a_{11}&\bigcirc&\bigcirc\\\bigcirc&a_{22}&a_{23}\\\bigcirc&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\bigcirc&a_{12}&\bigcirc\\a_{21}&\bigcirc&a_{23}\\a_{31}&\bigcirc&a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\bigcirc&\bigcirc&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&\bigcirc\\a_{31}&a_{32}&\bigcirc\end{vmatrix}$

的代数余子式记为，根据上面的式子，可以看出其绝对值等于比n小一阶的矩阵（去除第i行和第j列）的行列式。如果考虑符号，那么有规律：
i+j为奇数则为负号，i+j为偶数则为正号。比如中，1+2=3，因此为负号。也就是说，这里的“值”和“符号”都是代数余子式的一部分。
把上面的式子中的代数余子式用符号代替：

由于代数余子式包含了符号，所以这里全部用加号。

不难看出，除了提出之外，有可以提出第二行的元素：

为了符合二阶行列式的公式，稍微需要变形：

由此，可以得到推广后的代数余子式求行列式公式：

其中，表示第行。要注意的是，各元素对应的代数余子式的符号有下列规律：

无论几阶矩阵，都是正负交替的。

例题：求。
方法1：利用性质2和性质7。
在不换行的情况下化简得：，然后交换第一行和第二行可以得到一个上三角矩阵：，于是行列式为对角线乘积，由于有一次换行，需要变号，最终。

方法2：利用代数余子式。

行列式 determinant

行列式基本性质

代数余子式

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