数字图像处理4：逆滤波及其变形和维纳滤波

逆滤波和维纳滤波

简介

在图像的获取、传输以及记录保存过程中，由于各种因素，如成像设备与目标物体的相对运动，大气的湍流效应，光学系统的相差，成像系统的非线性畸变，环境的随机噪声等原因都会使图像产生一定程度的退化，图像退化的典型表现是图像出现模糊、失真，出现附加噪声等。由于图像的退化，使得最终获取的图像不再是原始图像，图像效果明显变差。为此， 要较好地显示原始图像，必须对退化后的图像进行处理，恢复出真实的原始图像，这一过程就称为图像复原。

大气湍流退化

对经过大气湍流退化的图片实现全逆滤波，半径受限逆滤波以及维纳滤波，并对比。

三种滤波思想

直接全逆滤波、半径受限逆滤波和维纳滤波

直接全逆滤波

如果退化图像为 g(x, y)，原始图像为 f (x, y)，在不考虑噪声的情况下，由傅立叶变换的卷积定理可知有下式成立 G(u, v) = H(u, v) ∗ F (u, v)。由此可见，如果已知退化图像的傅里叶变换和系统的冲击响应函数 G(u, v)，则可以求出原图像的傅里叶变换 H(u, v)，之后使用傅里叶逆变换即可得到原图像。这就是全逆滤波的主要思想。

半径受限逆滤波

全逆滤波在有噪声的情况下：
$$F(u,v)=G(u,v)/H(u,v)$$
$$F’(u,v)=G(u,v)/H(u,v)-N(u,v)/H(u,v)$$
N (u, v) 是噪声的傅里叶变换。如果此时在 N (u, v) 不为 0 的地方，H(u, v) 过零或者比较小， 则会导致噪声被放大。因此对 F (u, v) 首先使用低通滤波器过滤掉高频的噪声，之后再除以H(u, v)，这样虽然有可能会导致图像的高频细节被忽略，但是相对于全逆滤波更加稳定。

维纳滤波

维纳滤波就是最小二乘滤波，它是使原始图像 f(x,y) 与其恢复图像 f’(x,y) 之间的均方误差最小的复原方法。具有较好的抑制噪音的能力。由于在日常使用中，无法确定图片的信噪比，因此在公式中使用参数 k 来代替信噪比。其公式为：
$$F’(u,v)=\frac{1}{H(u,v)}\ast \frac{|H(u,v){|}^2}{|H(u,v){|}^2+k}$$

代码1

主函数

clc;
clear;
close all;

%% 课本图 5.28
% 读取图片
im = imread('demo-1.jpg');   % 原始图像 480x480 uint8

%% 图像退化（大气湍流模型）
% Output（H：退化模型， im_f：退化后图片）
[H, im_f,im_F] = atmosph(im);        

%% 全逆滤波，半径受限逆滤波
D0 = 60;
% Input（im_f：退化图片，H：退化模型，D0：半径）
% Output（im_inverse：全逆滤波结果，im_inverse_b：半径受限逆滤波）
 [im_inverse, im_inverse_b] = my_inverse(im_f, H, D0);  
% [im_inverse, im_inverse_b] = my_inverse_F(im_f, H, D0,0.001); 

%% 维纳滤波
K = 0.0001;
% Input（im_f：退化图片，H：退化模型，K：维纳滤波常数）
im_wiener = my_wiener(im_f, H, K);

%% 显示结果
figure(1); 
subplot(231); imshow(im); title('原图'); axis on
subplot(232); imshow(im_f); title('大气湍流(k=0.0025)'); axis on
subplot(233); imshow(im_inverse); title('全逆滤波'); axis on
subplot(234); imshow(im_inverse_b); title('半径受限的逆滤波'); axis on
subplot(235); imshow(im_wiener); title('维纳滤波'); axis on

全逆滤波和半径受限的全逆滤波

function [im_inverse, im_inverse_b] = my_inverse(img, H, D0)

[M,N] = size(img);

%图像进行二位傅里叶变换，之后移动到中心点
im_double = mat2gray(img,[0 255]);
im_F = fftshift(fft2(im_double));      % 空域 > 频域

% 10阶巴特沃斯低通滤波器
H2 = zeros(M,N);
for x = (-M/2):1:(M/2)-1
     for y = (-N/2):1:(N/2)-1
        D2 = (x^2 + y^2)^(1/2);
        H2(x+(M/2)+1,y+(N/2)+1) = 1/(1+(D2/D0)^20);%十阶   
     end
end
%滤波后图像
im_H2 = im_F .* H2; 

% 全逆滤波
% 抑制低幅值的频率的全逆滤波
% im_inverse = zeros(M,N);
% num_F = abs(im_F);
% for x = 1:M
%      for y = 1:N
%          if(num_F(x,y)>0.78)
%              im_inverse(x,y) = im_F(x,y) / H(x,y);
%          else
%              im_inverse(x,y) = im_F(x,y);
%          end 
%      end
% end

%直接全逆滤波
im_inverse = im_F ./ H;  

im_inverse_double = real(ifft2(ifftshift(im_inverse)));    % 频域 > 空域
im_inverse = im2uint8(mat2gray(im_inverse_double));

% 半径受限逆滤波
% 抑制低幅值的频率的全逆滤波
% im_inverse_b = zeros(M,N);
% num_H2 = abs(im_H2);
% for x = 1:M
%      for y = 1:N
%          if(num_H2(x,y)>0.78)
%              im_inverse_b(x,y) = im_H2(x,y) / H(x,y);
%          else
%              im_inverse_b(x,y) = im_H2(x,y);
%          end 
%      end
% end
% 直接全逆滤波
im_inverse_b = im_H2 ./ H;  
im_inverse_b_double = real(ifft2(ifftshift(im_inverse_b)));    % 频域 > 空域
im_inverse_b = im2uint8(mat2gray(im_inverse_b_double));
end

实验结果1

在本次实验中，首先对原图进行大气湍流退化（退化系数 k = 0.0025），之后分别对退化的图像进行全逆滤波，半径受限逆滤波（取半径 D0 = 60），维纳滤波（取信噪比 k = 0.0001）。

实验结果如下：

如上图所示，实验中全逆滤波的结果是一团噪声，但是在图像退化过程中未引入噪声。在 实验中，经过反复调试，终于发现问题出在图像退化时的傅里叶变换的时候。在图像退化的反傅里叶变换时，存在一次对图像的取实部，这个操作没有问题，但是由于图像是离散的，当图像再次傅里叶变换，会在各个频段出现看似随机的噪声。这直接导致了由于 H(u,v) 过零导致的噪声放大。
为了说明全逆滤波对无噪声图像有着极好的恢复能力，重写给定退化函数，增加返还量im_F，不做反变换，用来使用全逆滤波。新的实验结果如下图：

可以看出此时全逆滤波的效果很明显。

实验分析1

从上述实验结果可以看出，全逆滤波对无噪声的图像，具有极好的恢复能力，但是及其不稳定，可能由于各种各样的噪声，导致图像不仅没有变得清晰，反而变的更加模糊。而半径受限的全逆滤波，尽管理想的效果不如全逆滤波，会丢失很多细节，但是对于噪声的忍耐能力更强，相对也更加稳定。从上面比较来看，维纳滤波是效果最好的，并且其对噪声的抑制能力最强，但是需要知道图像的信噪比，才能最好的滤波。

运动模糊和高斯噪声污染

运动模糊是图像中的对象由于平移运动，导致的多幅图像的线性堆积。高斯噪声是服从高斯分布的亮度随机变化，是图像中常见的噪声污染。

运动模糊和高斯噪声设计思路

运动模糊是由于物体运动导致的，高斯噪声是一种由于设备、环境导致的随机性误差。

代码2

主函数

clc;
clear;
close all;

%% 课本图 5.29
% 读取图片
im = imread('demo-2.jpg');   % 原始图像 688x688 uint8

%% 图像退化（运动模糊+高斯噪声）
% [~, im1_f] = motionblur(im, 0.01);        % 噪声方差=0.01
% [~, im2_f] = motionblur(im, 0.001);        
% [H, im3_f] = motionblur(im, 0.0000001);        % H：退化模型
 [~, im1_f,im1_F] = motionblur(im, 0.01);        % 噪声方差=0.01
 [~, im2_f,im2_F] = motionblur(im, 0.001);        
 [H, im3_f,im3_F] = motionblur(im, 0.0000001);        % H：退化模型

%% 全逆滤波，半径受限逆滤波
D0 = 33;
 [~, im1_inverse] = my_inverse(im1_f, H, D0);
 [~, im2_inverse] = my_inverse(im2_f, H, D0);
 [~, im3_inverse] = my_inverse(im3_f, H, D0);
%  [im1_inverse, ~] = my_inverse(im1_f, H, D0);
%  [im2_inverse, ~] = my_inverse(im2_f, H, D0);
%  [im3_inverse, ~] = my_inverse(im3_f, H, D0);
%  [~, im1_inverse] = my_inverse_F(im1_f, H, 33);
%  [~, im2_inverse] = my_inverse_F(im2_f, H, 33);
%  [~, im3_inverse] = my_inverse_F(im3_f, H, 33);
%  [im1_inverse, ~] = my_inverse_F(im1_f, H, D0 ,0.95);
%  [im2_inverse, ~] = my_inverse_F(im2_f, H, D0 ,0.31);
%  [im3_inverse, ~] = my_inverse_F(im3_f, H, D0 ,0.005);

%% 维纳滤波
%K = 0.0001;%0.1 0.008 0.0001
im1_wiener = my_wiener(im1_f, H, 0.1);
im2_wiener = my_wiener(im2_f, H, 0.008);
im3_wiener = my_wiener(im3_f, H, 0.00001);

%% 显示结果
figure(1); 
subplot(331); imshow(im1_f); title('运动模糊+加性噪声(sigma)'); axis on
subplot(332); imshow(im1_inverse); title('逆滤波结果'); axis on
subplot(333); imshow(im1_wiener); title('维纳滤波结果'); axis on
subplot(334); imshow(im2_f); title('运动模糊+加性噪声(sigma*0.1)'); axis on
subplot(335); imshow(im2_inverse); title('逆滤波结果'); axis on
subplot(336); imshow(im2_wiener); title('维纳滤波结果'); axis on
subplot(337); imshow(im3_f); title('运动模糊+加性噪声(sigma*0.00001)'); axis on
subplot(338); imshow(im3_inverse); title('逆滤波结果'); axis on
subplot(339); imshow(im3_wiener); title('维纳滤波结果'); axis on

运动模糊

function [H,im_blured, im_blured_F] = motionblur(img, sigma)

[M,N] = size(img);
%图像进行二位傅里叶变换，之后移动到中心点
im_double = mat2gray(img,[0 255]);
im_F = fftshift(fft2(im_double));      % 空域 > 频域

H = zeros(M,N);
gauss = 0 + sqrt(sigma) * randn(M,N);%二维高斯分布矩阵 0是均值
% 运动模糊
a = 0.1;
b = 0.1;
T = 1;

for u = -M/2:1:M/2-1
    for v = -N/2:1:N/2-1
        L = ((a*u)+(b*v))*pi;
        if (L == 0)
            H(u + M/2 + 1,v + N/2 + 1) = 1;
        else
            H(u + M/2 + 1,v + N/2 + 1) = T * sin(L) * exp( -L * 1i )/L;
        end
    end
end

im_G = im_F .* H;
%im_double = real(ifft2(ifftshift(im_G)));    % 频域 > 空域

% noise
im_gauss = fftshift(fft2(gauss));      % 空域 > 频域

im_blured_F = im_G + im_gauss;
%im_blured_F = im_G;
im_blured = real(ifft2(ifftshift(im_blured_F)));    % 频域 > 空域
end

维纳滤波

function im_wiener = my_wiener(img, H, K)
[M,N] = size(img);
H2 = zeros(M,N);
Mo = zeros(M,N);
Me = zeros(M,N);
% 空域 > 频域
im_double = mat2gray(img,[0 255]);
im_G = fftshift(fft2(im_double));

%得到系数H2
for u = 1 : M
    for v = 1 : N
        Mo(u,v) = (abs(H(u,v)))^2;
        Me(u,v) = (H(u,v)*(Mo(u,v) + K));
        H2(u,v) = Mo(u,v)/Me(u,v);
    end
end

im_F = im_G.* H2;
im_wiener_double = real(ifft2(ifftshift(im_F)));    % 频域 > 空域
im_wiener = im2uint8(mat2gray(im_wiener_double));
end

实验结果2

首先是按照实验模板做了第一次实验，在实验中给三种情况下的维纳滤波分别调整的不同的信噪比系数 k，分别为 0.1、0.008、0.00001。但是针对逆滤波，无论是半径受限，还是未使用半径受限，都是一团噪声，无法产生需要的结果。如下图所示，（图 1 是全逆滤波，图 2是半径受限滤波）

实验思考

如上面所示，全滤波存在问题，但是按照理论知识，在噪声很小的情况下，逆滤波应该表现的相对清晰，因此，采用和大气湍流退化相同的处理方法，即对退化后的图像不进行反变换，直接全逆滤波处理，最终在半径受限的时候，得到了理想的处理结果，如下图所示：

此时，笔者在反复分析图像处理过程时，发现对于这种程度的高斯噪声，其影响的频率点的幅值不会特别高。因此，笔者写了一个低幅值抑制的函数先对图像进行处理，然后对图像使用逆滤波，最后得到了细节保留优于维纳滤波的处理算法。下面是处理的函数和算法。本次实验的下限 k 分别是0.95，0.31，0.005。

function [im_inverse, im_inverse_b] = my_inverse_F(img, H, D0, k)

[M,N] = size(img);
%图像进行二位傅里叶变换，之后移动到中心点
 im_double = mat2gray(img,[0 255]);
 im_F = fftshift(fft2(im_double));      % 空域 > 频域
% im_F = img;
% 10阶巴特沃斯低通滤波器
H2 = zeros(M,N);
for x = (-M/2):1:(M/2)-1
     for y = (-N/2):1:(N/2)-1
        D2 = (x^2 + y^2)^(1/2);
        H2(x+(M/2)+1,y+(N/2)+1) = 1/(1+(D2/D0)^20);%十阶   
     end
end
%滤波后图像
im_H2 = im_F .* H2; 

% 全逆滤波
% 抑制低幅值的频率的全逆滤波
im_inverse = zeros(M,N);
num_F = abs(im_F);
for x = 1:M
     for y = 1:N
         if(num_F(x,y)>k)
             im_inverse(x,y) = im_F(x,y) / H(x,y);
         else
             im_inverse(x,y) = im_F(x,y);
         end 
     end
end

%直接全逆滤波
%im_inverse = im_F ./ H;  

im_inverse_double = real(ifft2(ifftshift(im_inverse)));    % 频域 > 空域
im_inverse = im2uint8(mat2gray(im_inverse_double));

% 半径受限逆滤波
% 抑制低幅值的频率的全逆滤波
im_inverse_b = zeros(M,N);
num_H2 = abs(im_H2);
for x = 1:M
     for y = 1:N
         if(num_H2(x,y)>k)
             im_inverse_b(x,y) = im_H2(x,y) / H(x,y);
         else
             im_inverse_b(x,y) = im_H2(x,y);
         end 
     end
end

% 直接全逆滤波
% im_inverse_b = im_H2 ./ H;  

im_inverse_b_double = real(ifft2(ifftshift(im_inverse_b)));    % 频域 > 空域
im_inverse_b = im2uint8(mat2gray(im_inverse_b_double));
end

$$if(nu{m}_F(x,y)>k)如果幅值大于下限k$$$$inverse(x,y)=i{m}_F(x,y)/H(x,y);正常使用逆滤波$$$$else否则，说明其信息重要度低$$$$inverse(x,y)=i{m}_F(x,y);保持原值$$

实验分析2

这次实验发现，使用维纳滤波交互性的选择信噪比 K，可以得到较好的图像显示效果。如期望的，全逆滤波产生的图像质量非常差，即使使用了半径限制的逆滤波依旧会产生较大的噪声干扰。这是因为 H 的小值较多，会使噪声放大。

在实验中，通过限制低幅度值的频谱值，可以得到一定程度上优于维纳滤波的限制性逆滤波算法。但是这些滤波算法都没办法完全克服噪声的污染，随着加性的高斯噪声越来越大， 结果也越来越差。

实验小结

本次实验，研究了全逆滤波，半径受限的逆滤波，维纳滤波，以及最后通过图像的频谱图 设计出的频域幅度限制逆滤波算法。全逆滤波的抗干扰能力很差，但是如果是完全没噪声的图像，可以给出最好的修正效果。半径受限的逆滤波会损失高频的细节，但是可以有更好的抑制干扰的能力。维纳滤波要明显优于逆滤波，其通过修正信噪比 k 可以给出图像极好的恢复结果。

最后，通过图像的频谱图设计出的频域幅度限制逆滤波算法，可以通过对频谱幅值小的噪声有很好的过滤效果，尽管也会损失细节，但是可以通过设置噪声的下限来进行改善。在一定程度上，获得了比维纳滤波更好的结果。更换图片，重试发现算法有一定的普适性，具有不错的鲁棒性。