三、矩阵的初等变换与线性方程组

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第 3 章 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

定义（初等行变换）[P58]
以下的三种变换被称为初等行变换：

• 对换两行；
• 以数 k != 0 乘某一行中的所有元；
• 把某一行所有元的 k 倍加到另一行对应的元上去；

将上述定义中的“行”换成“列”就成了初等列变换。初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。

矩阵 A 与 B 等价：
什么是行等价、列等价、等价（A~B）？
矩阵之间等价具有如下性质：

1. 自反性（反身性）
2. 对称性
3. 传递性

定义（行阶梯形矩阵、行最简形矩阵）[P60]
什么是行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵的标准型 ？
对于 m * n 的矩阵 A，总可以经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准型。

定理（矩阵 A 与 B 等价的充要条件）[P61]

定义（初等矩阵）：
由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

性质1（引理）[P62]：
设 A 是一个 m * n 的矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘相应的 n 阶初等矩阵。

性质2（方阵可逆的充要条件）：
方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵$P_1,P_2,...,P_l$， 使 $A=P_1{P}_2...P_l$。

推论：方阵 A 可以的充分必要条件是 A 与 E 行等价。

矩阵的秩

定义（矩阵子式）[P66]
引理： 设 A 与 B 行等价，则 A 与 B 中非零子式的最高阶数相等。

定义（矩阵的秩）[P67]

A 的秩 R(A) 就是 A 的非零子式的最高阶数；

显然，若 A 为 m * n 阶矩阵，则 0 <= R(A) <= Min(n , m) ；

由于行列式与其转置行列式相等，所以$R(A^T)=R(A)$；

可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数，因此可逆矩阵又称为‘满秩矩阵’，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为‘降秩矩阵’。

定理[P68]： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若 A~B 则 R(A) = R(B) 。
推论：若可逆矩阵 P、Q 使 PAQ = B ，则 R(A) = R(B) 。

矩阵的秩的性质[P69]

1. $0<=R(A_{m\ast n})<=min(n,m)$.
2. $R(A^T)=R(A)$.
3. 若 A~B，则 R(A) = R(B).
4. 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A).
5. max{ R(A) , R(B) } <= R(A , B) <= R(A) + R(B).
6. R(A+B) <= R(A) + R(B).
7. R(AB) <= min{ R(A) , R(B) }.
8. 若 $A_{m\ast n}{B}_{n\ast l}=O$ 则 R(A) + R(B) <= n.

线性方程组的解

定理（秩与线性方程组的解）[P72]
对 n 元线性方程组 Ax = b：

• 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b);
• 有惟一解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) = n;
• 有无数解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) < n.

定理（上述定理的特殊情况）[P76]：

• n 元齐次方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是 R(A) < n.
• 线性方程组 Ax = b 有解的充要条件是 R(A) = R(A, b) .
• 矩阵方程 AX = B 有解的充要条件是 R(A) = R(A, B).
• 设 AB = C, 则 R( C ) <= min{R(A) , R(B) }.