DH算法初探
刚接触DH算法，写下此博客以记之，如有不足之处请指正
在Https协议中，Client端和Server端需要三个参数才能生成SessionKey来加密信息。
三个参数分别是
Client Random(客户端随机数) 假设是C
Server Random(服务端随机数) 假设是S
PreMaster Random(待加密随机数) 假设是P
前两个都是通过明文的方式传输，即C从客户端以明文的方式发送给服务端，S从服务端以明文的发送发送给客户端
而P则是最重要，也是最关键的信息了，默认通过RSA算法对其加密，再传输到服务端，服务端再用私钥对密文进行解密，得到P。
如果被而已的第三方截取了P加密后的密文，是否有P信息泄露的危险呢？
我们知道RSA算法的公钥是对外公开的。假设公钥对(e,n),密钥对(d,n)那么从客户端发送到服务端关于P的密文 M = P^e mod n
假设密文M被攻击者拦截，如果要求得明文，必须求得
(log§M) mod n = e 的底数P，然而解除P是十分复杂的过程，所以攻击者一般无法获得P的值。或者说要获得私钥的话，ed = k f(n)[f = 欧拉函数] + 1, 而f(n) = f(p*q) = f§f(q) = (p-1)(q-1),而对n进行大素数分解的计算过程是十分难的。也不能通过M^d mod n 来获得P
第二种算法是DH算法，假设DH算法的数对为(p,q)
客户端选取【1 ~ q - 1】中的一个随机数RC,通过计算得出一个参数 PC
PC = (p ^ RC) mod q
服务端同样选取【1 ~ q - 1】中的一个随机数RS,通过计算得出一个参数 PS
PS = (p ^ RS) mod q
客户将自己的PC参数交给服务端
服务端将自己的PS参数交给客户端
服务端计算 PC ^ RS mod q = A
客户端计算 PS ^ RC mod q = B
实际上A = B,下面来证明一下，
首先 要用到一个定理
((W ^ X) mod Y) ^ Z mod Y = W ^ (X * Z) mod Y
为什么呢，设 U = (W ^ X) mod Y , 那么 U + kY = W^X (k为正整数)
即 : U = W^X - kY
(W^X - kY)^Z 的中间的项和最后一项都含有Y 而只有第一项W^(XY)
不含有Y 所以
((W ^ X) mod Y) ^ Z mod Y = W^(X*Z) mod Y
A = PC ^ RS mod q =
((p ^ RC) mod q) ^ RS mod q = p ^ (RC * RS) mod q
B = PS ^ RC mod q =
((p ^ RS) mod q) ^ RC mod q = p ^ (RC * RS) mod q
证明完毕，客户端和服务端交换参数后计算得到的最终数字A 和 B是相等的，聪明的你应该猜到了， A = B 就是服务端和客户端需要达成一致的PreMaster随机数！
其实两者交换的参数实际上是带有他们各自生成的随机数的信息的，因为，传输的参数公式为 ,参数P = (p ^ 各自随机数) mod q 当 p 和 q是已知的时候，拦截了P的话，要算出各自随机数，则要算出
(log( p)P) mod q = 各自随机数，对数运算复杂，但我没有实际想办法实际计算过大数的对数运算，先暂不做解析。
另外就是(p,q)对的选取，
p^x mod q = L （x = 1, 2 , 3, 4 …）
当L从1开始向上逐一递增，L的取值不能周期性变化，
假设L以6为周期变化
那么p^1 mod q = p^7 mod q = p^13 mod q = …
假如我们是攻击者
假设我们知道了
PC = (p ^ RC) mod q 中 PC的值
PS = (p ^ RS) mod q 中PS的值
因为p^x mod q = L是呈周期性变化的，我们就能轻易找到一个数 O
让 PS = (p ^ O) mod q
假设周期是6，那么 O 和原来服务端随机数RS的差值就是6*k(k为整数)
那么我们只要计算ANS = PC ^ O mod q = p ^ (RC * O) mod q =
p ^ (RC * (RS + 6*k)) mod q = p ^ (RC * RS + 6 *k *RC )) mod q
因为p^x mod q = L是以6为周期变化的，又因为6 *k *RC是6的整数倍，所以p ^ (RC * RS + 6 *k *RC )) mod q = p ^ (RC * RS) mod q
我们盗取PreMaster成功！
所以(p,q)对的分布要满足p^x mod q = L，x取【1~ q -1】的时候，L的取值是无序不重复的