欧几里德算法+扩展欧几里德算法

欧几里德算法

证明

证明欧几里德算法的关键是要证明$gcd(a,b)=gcd(bmoda,a)$
$bmoda等价于b-\lfloor b/a\rfloor \times a$
$b-\lfloor b/a\rfloor \times a能被gcd(a,b)整除$
$又因为a和b都能被gcd(a,b)整除$
$所以bmoda和a也能被gcd(a,b)整除$

code

int gcd(int a,int b){
  return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里德算法

如果a和b都是整数，则有整数x和y 使得 $ax+by=GCD(a,b)$
推论 若a,b互素，则存在x和y使得$ax+by=1$

证明

设c是a和b的线性组合中最小整数
$ax+by=c（x，y为整数）$
令 $a=cq+r(0\le r<c)$
可得$r=a-cq=a(1-qx)-bqy$
所以 r 是 a 和 b 的线性组合
又因为 c是a和b的线性组合中最小整数
所以 r == 0
所以 c 是 a 的约数
同理 c 是 b 的约数
所以 c 是 a 和 b 的公约数
对于 a 和 b 的所有约数 d
因为 ax + by = c
所以 d 是 c 的约数$c\ge d$;
所以 c 是 最大公约数 $GCD(a,b)$

应用

$因为a{x}_1+b{y}_1=GCD(a,b),a{x}_2+GCD(b,a\%b)y_2=GCD(b,a\%b)=GCD(a,b)$
$所以a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-\lfloor a/b\rfloor \ast b)y_2=a{y}_2+b(x_2-\lfloor a/b\rfloor \ast y_2)$
$所以x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor a/b\rfloor \ast y_2$
$重复这一过程直到b==0此时x=1,y=0。$

结论

$x_1=y_2$
$y_1=x_2-\lfloor a/b\rfloor \ast y_2$
当c是gcd(a,b)的倍数时
$x=x_0+k\ast \lfloor b/gcd(a,b)\rfloor$
$y=y_0-k\ast \lfloor a/gcd(a,b)\rfloor$
若c不是gcd(a,b)的倍数时
则$ax+by=c$无整数解

code

int exgcd(int a,int b,int &x, int &y){
  if(b==0){ x=1,y=0;return a;}
  int t=exgcd(b,a%b,x,y);
  int x0=x,y0=y;
  x=y0,y=x0-(a/b)*y0;
  return t;
}

&是引用的符号，一变全变

例1

https://cn.vjudge.net/problem/HDU-2669

AC code

#include 
#define ll long long
using namespace std;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x, ll &y){
  if(b==0){ x=1,y=0;return a;}
  ll t=exgcd(b,a%b,x,y);
  ll x0=x,y0=y;
  x=y0,y=x0-(a/b)*y0;
  return t;
}
int main(){
  ll a,b,x,y;
  while(cin>>a>>b){
    if(exgcd(a,b,x,y)==1){
      int c=exgcd(a,b,x,y);
      while(x<=0){
		    x=x+b/c;
        y=y-a/c;
		  }
      cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
    else cout<<"sorry"<<endl;
  }
  return 0;
}

例2

https://cn.vjudge.net/problem/POJ-2142

AC code

#include 
#include 
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x, int &y){
  if(b==0){ x=1,y=0;return a;}
  int t=exgcd(b,a%b,x,y);
  int x0=x,y0=y;
  x=y0,y=x0-(a/b)*y0;
  return t;
}
int main(){
  int a,b,d,x,y;
  while(~scanf("%d %d %d", &a, &b, &d)&&(a||b||d)){
    int md=exgcd(a,b,x,y);
    a/=md,b/=md,d/=md;
    int x1=x*d;
    x1=(x1%b+b)%b;
    int y1=(d-x1*a)/b;
    y1=abs(y1);
    int y2=y*d;
    y2=(y2%a+a)%a;
    int x2=(d-y2*b)/a;
    x2=abs(x2);
    if(x1+y1<x2+y2) printf("%d %d\n",x1,y1);
    else printf("%d %d\n",x2,y2);
  }
  return 0;
}

例3

https://cn.vjudge.net/problem/ZOJ-3593

code

#include 
#include 
#define INF 0x3fffffff
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x, long long &y){
  if(b==0){ x=1,y=0;return a;}
  long long t=exgcd(b,a%b,x,y);
  long long x0=x,y0=y;
  x=y0,y=x0-(a/b)*y0;
  return t;
}
long long abs1(long long a){
	if(a<0) return -a;
	return a;
}
long long judge(long long x,long long y){
  if(abs1(x+y)!=abs1(x)+abs1(y)) return abs1(x)+abs1(y);
  return max(abs1(x),abs1(y));
}
int main(){
	long long A,B,a,b,d,x,y;
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T--){
		scanf("%lld %lld %lld %lld", &A, &B, &a, &b);
		long long md=exgcd(a,b,x,y);
		d=abs1(B-A);
		if(d%md!=0){
			printf("-1\n");
			continue;
		}
		a/=md,b/=md;
    x*=d/md;
    y*=d/md;
		long long mid = (y - x) / (a + b);//当x和y最接近的时候，|x|+|y|最小
    long long ans = (long long)INF * (long long)INF;
    for(long long t=mid-2;t<=mid+2;t++){
        ans=min(ans,judge(x+b*t,y-a*t));
    }
    printf("%lld\n", ans);
	}
}