【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 20】

在上一篇连载里面,我们证明了为什么:
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同时也得到了 M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程中描述电场和磁场公式的微分形式:
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那么在今天的连载里面,我们重点想看看闭合曲线的线积分应该如何变成微分形式。

我们回顾一下我们对闭合曲面的面积分的微分处理——我们让闭合曲面 S 不断缩小,那么意味着闭合曲面 S 所包围的体积也是不断趋于0. 然后我们再同时除以闭合曲面 S 所包围的体积 △ V △V V,就得到了通量源密度。

那么对于闭合曲线的线积分也是一样的处理—— 我们让闭合曲线 C 不断缩小,那么意味着闭合曲线 C 所包围的面积也是不断趋于0,然后我们再除以这个闭合曲线所包围的面积 △ S △S S,那么就可以得到:
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上面这个式子我们定义为环量面密度。因为环量面密度是一个标量,所以我们定义:
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其中, r o t E ˉ rot\bar{E} rotEˉ表示电场 E ˉ \bar{E} Eˉ 的旋度, n ˉ \bar{n} nˉ 表示这个闭合曲线 C 所包围的面积的单位法向矢量。如下图所示:
【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 20】_第1张图片
不过在电磁感应里面,一般我们遇到的暂时是旋度方向和 n ˉ \bar{n} nˉ 一致的。

下面我就直接给出旋度的计算公式(证明也是很类似的就不再赘述):
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下面我们就继续开始推导 M a x w e l l Maxwell Maxwell 剩下的两个方程的微分形式:
首先是电生磁的方程:
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对于方程的左边,我们构造:
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因为除了一个 △ S △S S,所以式子的右边自然也要除以一个 △ S △S S,那么自然就剩下被积表达式了。因此,我们得到电生磁的微分形式如下:
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下面就剩下磁生电的方程啦:
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有了刚刚的基础,我们这里可以直接写出它的微分形式:
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至此,我们就成功地推导出了 M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程的微分形式,我们来一睹它的全貌:

【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 20】_第2张图片

顺带一提的是,因为我们 M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程讲的是时变电磁场,然而时变电磁场的边界方程和静电场、静磁场的是完全一样的。直接板过来就OK了。

好啦!今天的连载就要告一段落啦,留下一个问题:我们现在虽然说是讨论的时变场,但是时变的范围可大了去 了,电磁场随时间怎么变化都行;但是真实情况是:我们需要让电磁场可以携带信息,那么最常见的就是正弦和余弦变化,那么在后续的连载里面,我们将把重心转移到时谐变电磁场的研究。

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