【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 20】

在上一篇连载里面，我们证明了为什么：

同时也得到了 $Maxwell$ 方程中描述电场和磁场公式的微分形式：

---

那么在今天的连载里面，我们重点想看看闭合曲线的线积分应该如何变成微分形式。

我们回顾一下我们对闭合曲面的面积分的微分处理——我们让闭合曲面 S 不断缩小，那么意味着闭合曲面 S 所包围的体积也是不断趋于0. 然后我们再同时除以闭合曲面 S 所包围的体积 $△V$，就得到了通量源密度。

那么对于闭合曲线的线积分也是一样的处理—— 我们让闭合曲线 C 不断缩小，那么意味着闭合曲线 C 所包围的面积也是不断趋于0，然后我们再除以这个闭合曲线所包围的面积 $△S$，那么就可以得到：

上面这个式子我们定义为环量面密度。因为环量面密度是一个标量，所以我们定义：

其中，$rot\bar{E}$表示电场 $\bar{E}$ 的旋度，$\bar{n}$ 表示这个闭合曲线 C 所包围的面积的单位法向矢量。如下图所示：

不过在电磁感应里面，一般我们遇到的暂时是旋度方向和$\bar{n}$ 一致的。

下面我就直接给出旋度的计算公式（证明也是很类似的就不再赘述）：

---

下面我们就继续开始推导 $Maxwell$ 剩下的两个方程的微分形式：
首先是电生磁的方程：

对于方程的左边，我们构造：

因为除了一个 $△S$，所以式子的右边自然也要除以一个 $△S$，那么自然就剩下被积表达式了。因此，我们得到电生磁的微分形式如下：

---

下面就剩下磁生电的方程啦：

有了刚刚的基础，我们这里可以直接写出它的微分形式：

---

至此，我们就成功地推导出了 $Maxwell$ 方程的微分形式，我们来一睹它的全貌：

顺带一提的是，因为我们 $Maxwell$ 方程讲的是时变电磁场，然而时变电磁场的边界方程和静电场、静磁场的是完全一样的。直接板过来就OK了。

好啦！今天的连载就要告一段落啦，留下一个问题：我们现在虽然说是讨论的时变场，但是时变的范围可大了去 了，电磁场随时间怎么变化都行；但是真实情况是：我们需要让电磁场可以携带信息，那么最常见的就是正弦和余弦变化，那么在后续的连载里面，我们将把重心转移到时谐变电磁场的研究。