相机参数矫正理解

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根据三角相似原理,可以将image plane替换成virtual image plane,然后就得到下图:

将3D点 P=(X,Y,Z)T P = ( X , Y , Z ) T 投影到2D点 p=(x,y)T p = ( x , y ) T , f f 为焦距

• 如果是最简单的正交投影:
  
  XZ=xf,YZ=yf⇒x=fXZ,y=fYZ X Z = x f , Y Z = y f ⇒ x = f X Z , y = f Y Z
• 但是摄像头感知的像素点可能不是正方形的,所以,在 x,y x , y 方向可能有不同的尺度缩放因子: k,l k , l
  
  x=kfXZ,y=lfYZ可重写为:x=fxXZ,y=fyYZ x = k f X Z , y = l f Y Z 可重写为: x = f x X Z , y = f y Y Z

• 相机中心(上图中的点c)可能不在坐标系原点,所以可以定义相机中心的坐标为 (cx,cy) ( c x , c y )
  

  x=fxXZ+cx,y=fyYZ+cy那么,内参矩阵:K=⎡⎣⎢⎢⎢fx000fy0cxcy1⎤⎦⎥⎥⎥ x = f x X Z + c x , y = f y Y Z + c y 那么,内参矩阵 : K = [ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ]

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• 上面推理成立的条件是相机帧(Camera frame)和世界帧(World frame)是对齐的,也就是相机帧和世界帧是平行的,而且相机帧所在的位置为联合坐标系中 z=0 z = 0 .可以利用旋转矩阵 CWR W C R 和偏移矩阵 CWT W C T 进行转化,C表示camera frame, W 表示 world frame:
  

  CX=CWR∗WX+CWT C X = W C R ∗ W X + W C T
  
  CX C X : Coordinates of 3D scene point in camera frame.
  WX W X : Coordinates of 3D scene point in world frame.
  CWR W C R : Rotation matrix of world frame in camera frame
  CWT W C T : Position of world frame’s origin in camera frame
  偏移矩阵: T=⎡⎣⎢⎢TXTYTZ⎤⎦⎥⎥ T = [ T X T Y T Z ] ,旋转矩阵: R=⎡⎣⎢⎢r11r21r31r12r22r32r13r23r33⎤⎦⎥⎥ R = [ r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 ]
  旋转矩阵是正交的:
  
  RTR=I R T R = I
  
  因此, R−1=RT R − 1 = R T .假如: R=⎡⎣⎢⎢⎢RT1RT2RT3⎤⎦⎥⎥⎥, R = [ R 1 T R 2 T R 3 T ] , 那么:
  
  RTiRj={10if i==jotherwise R i T R j = { 1 if  i == j 0 otherwise

联合内参和外参

x=KCX=K(CWR∗WX+CWT) x = K C X = K ( W C R ∗ W X + W C T )