数值分析期末复习（解线性和非线性方程组）

解线性方程组



定义：
如果Rn中有两个范数 ||x||s 与 ||x||t ，存在常数m, M>0，使对任意n维向量x有 则称这两个范数等价.
性质：
对两种等价范数而言，某向量序列在其中一种范数意义下收敛时，则在另一种范数意义下也收敛。
定理：
Rn上的任意两个范数等价。【注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任何一种范数意义下研究。】

3、“病态”方程组
1、定义：
当一个方程组，由于系数矩阵 A 或右端常数项 b 的微小变化，引起方程组Ax=b解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵，否则称方程组为“良态”方程 组，A为“良态”矩阵。

4、 线性方程组解法







5、 迭代法敛散性判断方法



解非线性方程组
1、定义
求 f (x) = 0 的根：f(x)为非线性函数或高次代数方程，若有数x使f(x) = 0成立，则称x为方程f(x) = 0的根(零点)。若f(x)可分解为 当m = 1，称x是单根；当m > 1，称x*是m重根.
2、求根的两个步骤
(1)确定根的初始近似值(称之为初始近似根) ，一般为一个包含根的区间，称为“有根区间”【逐步扫描法：原理：设f(x)在[a, b]连续，且f(a) f(b)<0。则由连续函数的性质知f(x)=0在(a, b)内至少有一个根。若f(x)在[a, b]上单调，则f(x)=0在(a, b)上有且仅有一个根。】
(2)根的精确化。根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直至满足预先要求的精度为止。【①二分法②简单迭代法③牛顿迭代法④弦截法】

2、分类








解常微分方程




2、 五种数值方法
在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri+1 = y(xi+1) - yi+1 称为局部截断误差