如何学习数学分析

如何学习数学分析

数学分析的研究定位

一直以来都是书到用时方恨少，刚毕业那会学的是计算机，从事算法工程师岗位，然后基础人工智能算法，在遗传BP，神经网络，旅行商问题上接触了很多数学知识，到后来的机器人导航工程师又做了路径规划，设计到视觉SLAM，里面又穿插了李代数和矩阵论分析的数学知识，做算法不会数学是很难做好优化和分析的。所以学习数学你的思路和目的要明确，要确定你是做应用数学领域还是做纯粹数学领域，这都对你的学习数学的出发点选择和你的研究定位有关系。

数学分析起源

数学分析（Mathematical Analysis）发展自微积分（Calculus），微积分是数学分析中最古老、最基本的学科分支。数学分析一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。尽管数学分析只是数学的一个分支，但其应用范围非常广泛，几乎是所有高等数学的基础。
数学分析17世纪由牛顿和菜布尼兹分别独立创立，19世纪经柯西和魏尔斯特拉斯完善奠基成型。从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析。其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称。

分支领域

数学分析在当前被分为以下几个分支领域：

• 实分析：是对于实值函数的微分和积分进行形式严谨（formally rigorous）的研究。这包括对极限、幂级数和测度的研究。

• 泛函分析：研究函数空间和介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。

• 调和分析：处理傅里叶级数以及其抽象。

• 复分析：是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究。

交叉运用

1. 数学分析：主要包括微积分和级数理论。微积分是高等数学的基础，应用范围非常广，基本上涉及到函数的领域都需要微积分的知识。级数中，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等，电子产品的制造离不开它。

   运筹学与控制论

2. 实变函数（实分析）：数学分析的加强版之一。主要应用于经济学等注重数据分析的领域。

3. 复变函数（复分析）：数学分析加强版之二。应用很广的一门学科，在航空力学、流体力学、固体力学、信息工程、电气工程等领域都有广泛的应用，所以工科学生都要学这门课的。

4. 高等代数，主要包括线形代数和多项式理论。线形代数可以说是目前应用很广泛的数学分支，数据结构、程序算法、机械设计、电子电路、电子信号、自动控制、经济分析、管理科学、医学、会计等都需要用到线形代数的知识，是目前经管、理工、计算机专业学生的必修课程。

5. 高等几何：包括空间解析几何、射影几何、球面几何等，主要应用在建筑设计、工程制图方面。 分析学、高等代数、高等几何是近代数学的三大支柱。

6. 微分方程：包括常微分方程和偏微分方程，重要工具之一。流体力学、超导技术、量子力学、数理金融、材料科学、模式识别、信号(图像)处理 、工业控制、输配电、遥感测控、传染病分析、天气预报等领域都需要它。

7. 泛函分析：主要研究无限维空间上的函数。因为比较抽象，在技术上的直接应用不多，一般应用于连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等理论。

8. 近世代数（抽象代数）：主要研究各种公理化抽象代数系统的。技术上没有应用，物理上用得比较多，尤其是其中的群论。

9. 拓扑学：研究集合在连续变换下的不变性。在自然科学中应用较多，如物理学的液晶结构缺陷的分类、化学的分子拓扑构形、生物学的DNA的环绕和拓扑异构酶等，此外在经济学中也有很重要的应用。 泛函分析、近世代数、拓扑学是现代数学三大热门分支。

10. 非欧几何：主要应用在物理上，最著名的是相对论。

11. 数论：曾经被认为是数学家的游戏、唯一不会有什么应用价值的分支。著名的哥德巴赫猜想就是数论里的。现在随着网络加密技术的发展，数论也找到了自己用武之地——密码学。前几年破解MD5码的王小云就是数论出身。
    运筹学与控制论
    
    
    

数学分析的学习方法

1. 自学教材为主：每个人都有自己的数学基础。但是好的教材也是针对每个人不同的基础。这里我选择的是大家共同推荐的数学分析书籍。
2. 视频教程辅助，不懂的再去找视频吧，数学的魅力在于纸上推导。可以培养自己的数学思维，别以为看懂了就会了。那样毫无意义。视频教程是给懒人用的。以考试为目的的教程，相比之下还会降低你学习数学的兴趣。
3. 理论的推导结合实际的运用。在四年的工作过程中，在机器人领域，人工智能领域用到的数学案例比比皆是，前提是你先要会一种编程软件，这里还是选择最简单的matlab语言。目的是把难懂的数学理论运用图形学和逻辑学的方法帮助理解和分析，同时解决实际问题。

数学分析学习导论

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