The mook jong（找规律+组合数学“隔板”思想）

Link：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5366

The mook jong

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Problem Description


ZJiaQ want to become a strong man, so he decided to play the mook jong。ZJiaQ want to put some mook jongs in his backyard. His backyard consist of n bricks that is 1*1,so it is 1*n。ZJiaQ want to put a mook jong in a brick. because of the hands of the mook jong， the distance of two mook jongs should be equal or more than 2 bricks. Now ZJiaQ want to know how many ways can ZJiaQ put mook jongs legally(at least one mook jong).

 

Input

There ar multiply cases. For each case, there is a single integer n( 1 < = n < = 60)

 

Output

Print the ways in a single line for each case.

 

Sample Input

1 2 3 4 5 6

 

Sample Output

1 2 3 5 8 12

 

Source

BestCoder Round #50 (div.2)

 

对应中文题意（来自BC）：

问题描述

ZJiaQ为了强身健体，决定通过木人桩练习武术。ZJiaQ希望把木人桩摆在自家的那个由1*1的地砖铺成的1*n的院子里。由于ZJiaQ是个强迫症，所以他要把一个木人桩正好摆在一个地砖上，由于木人桩手比较长，所以两个木人桩之间地砖必须大于等于两个，现在ZJiaQ想知道在至少摆放一个木人桩的情况下，有多少种摆法。

输入描述

输入有多组数据，每组数据第一行为一个整数n(1 < = n < = 60)

输出描述

对于每组数据输出一行表示摆放方案数

输入样例

1	
2
3
4
5
6

输出样例

1
2
3
5
8
12

编程思想： 由于两个木人桩之间地砖必须大于等于两个，可以推出两个木人桩时至少需要4块地砖，3个木人桩至少需要7块地砖，4个木人桩至少需要10块地砖……所以，当有n块地砖且n>=4时，能摆放的木人桩个数最多为2+(n-4)/3，然后枚举从摆放一个木人桩到摆放2+(n-4)/3个木人桩的摆放方案数，计算每一种枚举的情况时，这里用到了组合数学的知识，当摆放2个木人桩时，由于两个木人桩之间地砖必须大于等于两个，也就是两个木人桩之间间隙至少为2，所以最多有n-2个地砖的位置可以选择来放这两个木人桩，这里采用组合数学里“隔板”的思想，即先对n-2个地砖任选两个位置放置木人桩，然后只需在这两个木人桩中间再添加2块地砖，使其满足两个木人桩之间地砖必须大于等于两个的条件，这里添加的这两块地砖和原来两个木人桩中间的地砖（不管是否原来有）就相当于一块“隔板”。因此在有n块地砖且n>=4时，摆放2个木人桩对应的最大摆放方案数为Cn2，同理，三块木人桩时，隔板大小至少为2*2=4，然后在选择放置木人桩的位置后在木人桩两两之间加一块大小为2的“隔板”。因此在有n块地砖且n>=7时，摆放3个木人桩对应的最大摆放方案数为C(n-4)3。所以，n>=4时，令m=2+(n-4)/3，则总的摆放方案数为：

C(n)1+C(n-2)2+C(n-4)3+……C(n-(m-1)*2)m

AC code：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define MAXN 1000100
using namespace std;
LL n,m,ans;
int a[4];
LL Cnm(LL n,LL m)//计算组合数C(n,m) 
{
    if(m>n/2)//根据组合公式，可以减少枚举量 
    m=n-m;
    LL a=1,b=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)//顺序进行m次运算 
    {
        a*=n+1-i;//计算前i项运算结果的分子a和分母 b 
        b*=i;
        if(a%b==0)
        {
            a/=b;
            b=1;
        }
    }
    return a/b;
}

int main()
{
    
    int i,j;
    a[1]=1;
    a[2]=2;
    a[3]=3;
    while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
    {
        if(n<=3)
            printf("%d\n",a[n]);
        else
        {
            m=2+(n-4)/3;
            ans=0;
            for(i=1;i<=m;i++)
            {
                ans+=Cnm(n-(i-1)*2,i);
            }
            printf("%I64d\n",ans);
        }    
    }
}