AI数学基础26-卷积（Convolution）

卷积（Convolution）是一个应用非常广泛的函数间的数学运算，类似加、减、乘、除。之所以很多同学听到卷积二字就头皮发麻，是因为不熟悉，而且在日常生活中用的少。加、减、乘、除从小就学习，天天在使用，所以觉得简单、容易，亲切。

加、减、乘、除 用符号 +，-，×，÷，表示；同样，卷积用符号：* 表示。

如上所述，卷积是两个函数之间的数学运算，假设有两个函数f(t), g(t)，其卷积运算的结果也是函数，我们记做c(t)，则：

c(t) = f(t)*g(t) = (f*g)(t)

注意：f(t)*g(t)和(f*g)(t)这两种写法，都是表示卷积运算，大家在学习一个数学运算的时候，首先是要学习并熟悉其标记的含义，这跟学习加、减、乘、除一样。

卷积具体的计算是如何定义的呢？

两个函数f(t), g(t)是定义在实数范围内可积的函数，其卷积记作：f*g，是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，如下图所示：

卷积运算定义

咋一看，有点儿懂了，也有点儿没懂，不着急，接下来我们一步一步图解卷积运算的过程。

首先，已知两函数f(t)和g(t)，如下图所示

然后，根据上述的卷积运算定义，把两个函数f(t)和g(t)自变量由t换为τ，并把其中一个函数，比如g(τ)，向右移动t个单位，得到g(τ-t)。

接着，把右移t个单位的函数，以纵轴为中心，180°翻转（Flip）,得到g(-(τ-t))，即g(t-τ)，如下图所示：

g(τ)向右移动t个单位，然后翻转

这样，经过平移和翻转，我们得到了积分表达式中的f(τ）和g(t-τ)。

接下来，τ是自变量，对整个定义域，我们对f(τ）和g(t-τ)积分，如下图所示：

f(τ）和g(t-τ)的积分运算

最后，完成f(τ）和g(t-τ)的积分运算后，就完成了两个函数f(t)和g(t)的卷积运算。

通过上述演示过程，大家可以把两个函数的卷积运算，简单记住为：“卷积就是平移翻转再积分”，其过程如下图所示：

若把g(t-τ)看作为是一个加权函数的话，卷积可以认为是对f(τ)取加权值的过程。

跟加、减、乘、除有交换律，结合律相似，卷积也有如下性质

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

卷积定理

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n-1组对位乘法，其计算复杂度为O(n²)；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为O(n·log(n))。卷积定理简化运算在工程实现中，经常使用。

卷积在科学、工程和数学上都有很多应用：

代数中，整数乘法和多项式乘法都是卷积。

图像处理中，用作图像模糊、锐化、边缘检测。

统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。

概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。

声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。

电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。

物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

下一节将继续介绍《AI数学基础27-离散卷积（Discrete convolution）》