【笔记整理】通信原理第八章复习——多路复用和伪随机序列
多路复用和伪随机序列
8.1 概述
- 多路复用
- 目的：在一条链路上传输多路独立信号
- 基本原理：正交划分方法
- 凡是理论上正交的多个信号，在同一条链路上传输到接收端后都可能利用其正交性完全区分开
- 多路复用基本方法
- 频分复用（FDM: frequency division multiplexing）
- 时分复用（TDM: time division multiplexing）
- 码分复用（CDM: code division multiplexing）
- 复接
- 目的：解决来自若干条链路的多路信号的合并和区分
- 关键技术问题：多路TDM信号时钟的统一和定时问题
- 多址接入
- 目的：多个用户共享信道、动态分配网络资源
- 方法：频分多址、时分多址、码分多址、空分多址、极化多址以及其他利用信号统计特性复用的多址技术等
- 多路复用（和复接）vs. 多址接入
- 同：都是为了共享通信网
- 异：
- 前者用户是固定或半固定接入，网络资源是预先分配给各用户共享
- 后者网络资源是动态分配，并可由用户在远端随时提出共享要求，如以太网
8.2 频分复用（frequency division multiplex, FDM）
通过对多路调制信号进行不同载频的调制，使得多路信号的频谱在同一个传输信道的频率特性种互不重叠，从而完成在一个信道中同时传输多路信号的目的
-
以DSB调制为列来说明如何进行频分复用与复用：
设有三路语音信号 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t)、 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)、 f 3 ( t ) f_3(t) f3(t)要通过一个通频带大于24kHz的信道从甲方传输到乙方
根据调制定理，在发送端用振荡器产生三个频率不同的正弦型信号作为载波 c 1 ( t ) = cos ω 1 t c_1(t)=\cos \omega_1t c1(t)=cosω1t、 c 2 ( t ) = cos ω 2 t c_2(t)=\cos \omega_2t c2(t)=cosω2t、 c 3 ( t ) = cos ω 3 t c_3(t)=\cos \omega_3t c3(t)=cosω3t，分别与三路语音信号相乘，将它们调制在 ω 1 \omega_1 ω1、 ω 2 \omega_2 ω2、 ω 3 \omega_3 ω3三个频率上
【要求】
（1）三个频谱相互错开不重叠：区分各路信号
（2）三个载波频率必须落在信道通频带之中，间隔频带必须大于8kHz
三路语音信号经载波调制后称为已调信号，再经加法器合成一路已调信号送入信道传输，完成发送端的频分复用任务
如何解调？
采用通带大于二倍信号带宽的三个带通滤波器滤出各自所需的频谱信号，再分别解调，最后送给不同的信息接受者，完成解复用的任务 -
复用过程中发送端和接收端的频谱
信号为单向传输（单工方式）、要完成双工通信，则需在通信双方再加一套同样的频分复用系统，信道可以采用同一信道（其占用带宽至少加倍），但调制频率必须改变，保证两个方向传输的频谱不重叠- 复合调制：对同一载波进行两种或更多种的调制，如对一个频率调制波再进行ICI振幅调制，就变成了了调频调幅波
- 多级调制：对同一基带信号实施两次或更多次的调制过程
在频分复用中一般都采用SSB调制搬移频谱，以节省频带
8.3 时分复用与数字复接原理
8.3.1 时分复用原理
-
FDM和TDM的比较
频分复用（FDM）：把可用的带宽划分为若干频隙，各路信号占用各自的频隙，从而实现在同一信道上传输多路信号。
时分复用（TDM）：把时间帧划分为若干时隙，各路信号占用各自时隙，从而实现在同一信道上传输多路信号
区别：TDM在时域上各路信号是分离的，但在频域上各路信号谱是混叠的；而FDM在频域上各路信号谱是分离的，在时域上各路信号是混叠的。
设3路话音输入信号，每路话音经低通滤波器后的频谱最高频率 f H f_H fH。
对 m 1 ( t ) m_1(t) m1(t)、 m 2 ( t ) m_2(t) m2(t)和 m 3 ( t ) m_3(t) m3(t)按相同时间周期进行采样，只要采样脉冲宽度足够窄，在两个采样值之间就会留有一定的时间空隙。
m 1 ( t ) m_1(t) m1(t)、 m 2 ( t ) m_2(t) m2(t)和 m 3 ( t ) m_3(t) m3(t)分别通过截止频率 f H f_H fH的低通滤波器，去“旋转开关”，顺序地被“发旋转开关”抽样。该开关每秒钟作 f s f_s fs次旋转 ( f s ≥ 2 f H ) (f_s\ge2f_H) (fs≥2fH)，并在一周旋转期输入信号提取一个样值。
若该开关实行理想抽样，则该开关的输出信号为
x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ [ m 1 ( k T s ) δ ( t − k T s ) + m 2 ( k T s + τ ) δ ( t − k T s − τ ) + m 3 ( k T s + 2 τ ) δ ( t − k T s − 2 τ ) ] x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}[m_1(kT_s)\delta(t-kT_s)+m_2(kT_s+\tau)\delta(t-kT_s-\tau)+m_3(kT_s+2\tau)\delta(t-kT_s-2\tau)] x(t)=k=−∞∑∞[m1(kTs)δ(t−kTs)+m2(kTs+τ)δ(t−kTs−τ)+m3(kTs+2τ)δ(t−kTs−2τ)]
输入信号路数为3，把 x ( t ) x(t) x(t)中一组连续三个脉冲称为一帧，长度为 T s T_s Ts，称 τ \tau τ为时隙长度等于 T s 3 \dfrac{T_s}{3} 3Ts
例如，若语音信号用8kHz的速率抽样，则旋转开关应每秒旋转8000周。设旋转周期为 T s T_s Ts秒，共有 N N N路信号，则每路信号在每周中占用 T s N \dfrac{T_s}{N} NTs秒的时间
假设该传输系统不引起噪声误差，则在接受端的“收旋转开关”处得到的信号 y ( t ) y(t) y(t)等于发端信号 x ( t ) x(t) x(t)。由于“收、发旋转开关”同步运转，因此能把各路信号样值序列分离，并送到规定通路上
，得到各通路样值信号分别为
{ y 1 ( t ) = ∑ m 1 ( k T s ) δ ( t − k T s ) y 2 ( t ) = ∑ m 2 ( k T s + τ ) δ ( t − k T s − τ ) y 3 ( t ) = ∑ m 3 ( k T s + 2 τ ) δ ( t − k T s − 2 τ ) \begin{cases} y_1(t)=\sum m_1(kT_s)\delta(t-kT_s) \\y_2(t)=\sum m_2(kT_s+\tau)\delta(t-kT_s-\tau) \\y_3(t)=\sum m_3(kT_s+2\tau)\delta(t-kT_s-2\tau) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧y1(t)=∑m1(kTs)δ(t−kTs)y2(t)=∑m2(kTs+τ)δ(t−kTs−τ)y3(t)=∑m3(kTs+2τ)δ(t−kTs−2τ)
当系统参数满足抽样定理条件时，则各路输出信号可分别恢复处原始模拟信号，即第 i i i路的输出信号为 m o i ( t ) = m i ( t ) m_{oi}(t)=m_i(t) moi(t)=mi(t)
- 机械旋转开关在实际电路中用抽样脉冲取代
- 各路抽样脉冲的频率必须严格相同，相位也需要有确定的关系，使各路抽样脉冲保持等间隔的距离
- 在一个多路复用设备中使各路抽样脉冲严格保持这种关系并不难，可以由同一始终提供各路抽样脉冲
- 时分复用主要优点：便于实现数字通信、易于制造、适于采用集成电路实现、生产成本较低
- 模拟脉冲调制目前几乎不再用于传输。抽样信号一般都在量化编码后以数字信号的形式传输
- 对于 N N N路话音信号进行时分复用时，发送端的转换开关以单路信号抽样周期为其旋转周期，按时间次序进行转换，每一路信号所占用的时间间隔称为时隙，时隙1分配给第一路，时隙2分配给第二路，……
- N N N个时隙的总时间构成一帧，每帧的总时间必须复合抽样定理的要求
- 通常由于单路话音信号的抽样频率规定为8000Hz，一帧时间为125 μ s \mu s μs
8.3.2 时分复用PCM系统
语言描述：
- 发端：各路话音信号分别通过各自的放大、低通滤波后成为 m 1 ( t ) m_1(t) m1(t)，经过发定时取样后 m s 1 ( t ) m_{s1}(t) ms1(t)与其他路取样后的话音信号 m s i ( t ) m_{si}(t) msi(t)合并再一起进行量化编码，生成PCM信号，然后通过码型变化形成合适于信道传输的码型送至信道。
- 收端：将收到的PCM信号经过码型变换后进行译码，形成PAM信号，分路后分别送给各自的低通滤波器恢复模拟语音信号。
总结
设每一路话音信号带宽为 B B B，则1路话音信号的PAM码速为 f s f_s fs
K K K路话音信号复用后
- PAM码速:
R P A M = K f s ( B a u d ) R_{PAM}=Kf_s(Baud) RPAM=Kfs(Baud) - PAM信号带宽：
B P A M = R P A M τ 1 ( H z ) B_{PAM}=\frac{R_{PAM}}{\tau_1}(Hz) BPAM=τ1RPAM(Hz) - PAM最小传输带宽（奈奎斯特带宽）：
B I S I = R P A M 2 ( H z ) B_{ISI}=\frac{R_{PAM}}{2}(Hz) BISI=2RPAM(Hz) - PCM码速：
R P C M = N K f s ( B a u d ) R_{PCM}=NKf_s(Baud) RPCM=NKfs(Baud) - PCM信号带宽：
B P C M = R P C M τ 2 ( H z ) B_{PCM}=\frac{R_{PCM}}{\tau_2}(Hz) BPCM=τ2RPCM(Hz) - PCM最小传输带宽：
B I S I = R P C M 2 ( H z ) B_{ISI}=\frac{R_{PCM}}{2}(Hz) BISI=2RPCM(Hz) - 用升余余弦滾降 α \alpha α所需带宽：
B α = ( 1 + α ) B I S I ( H z ) B_\alpha=(1+\alpha)B_{ISI}(Hz) Bα=(1+α)BISI(Hz)
其中 τ 1 \tau_1 τ1为PAM占空比， τ 2 \tau_2 τ2为PCM占空比
8.3.3 复接和分接
- 复接：将低次群合并称高次群的过程
- 分接：将高次群分解为低次群的过程
- 标准：准同步数字体系（PDH）和同步数字体系（SDH）
8.3.3.1 准同步体系E体系
基本层（E-1）：30路PCM数字电话信号，每路PCM信号的比特率为64kb/s。由于需要加入群同步码元和信令码元等额外开销，所以实际占用32路PCM信号的比特率。输出总比特率为2.048Mb/s=32(路) × \times × 8(kHz) × \times × 8(bit)，称为一次群信号
每一时隙里有8个比特，一帧32个时隙，1秒传8000帧。
E-2层：4个一次群信号进行二次服用，得到二次群信号，其比特率为8.448Mb/s
E-3层：按照同样的方法再次复用得到比特率为34.368Mb/s的三次群信号
E-4层：比特率为139.264Mb/s
相邻层次群之间路数成4倍关系，但比特率之间不是严格4倍关系
【原因】需要将各路输入信号的时钟调整统一，再做合并，会引入码速调整等额外开销，其输出比特率高于相应的1路输入比特率的4倍。
- E体系的一次群帧结构
- 抽样周期： 1 8000 = 125 μ s \dfrac{1}{8000}=125\mu s 80001=125μs，成为一个帧周期，即 125 μ s 125 \mu s 125μs为一帧
- 一帧时分复用32路，每路占用时隙为 125 32 = 3.9 μ s \dfrac{125}{32}=3.9 \mu s 32125=3.9μs，一帧有32个时隙，按顺序编号为 T S 0 TS_0 TS0、 T S 1 TS_1 TS1、…、 T S 31 TS_{31} TS31
- T S 0 ∼ T S 15 TS_0 \sim TS_{15} TS0∼TS15， T S 17 ∼ T S 31 TS_{17} \sim TS_{31} TS17∼TS31：30个话路时隙
- T S 0 TS_0 TS0：帧同步码、监视码时隙
- T S 16 TS_{16} TS16：信令（振铃、占线、摘机…各种标志信号）时隙
- 30路话路： T S 0 ∼ T S 15 TS_0 \sim TS_{15} TS0∼TS15、 T S 17 ∼ T S 31 TS_{17} \sim TS_{31} TS17∼TS31
- 抽样频率：8kHz
- 压阔特性：A=86.6/13折线压阔律，编码位数8，用逐次比较型编码器，输出折叠二进制码
- 每帧时隙数：32； T S 0 TS_0 TS0是帧同步时隙（偶数帧）， T S 16 TS_{16} TS16是信令时隙
- 传信率： 8 × 32 × 8000 = 2048 k b / s 8 \times 32 \times 8000=2048 kb/s 8×32×8000=2048kb/s
- 话路比特的安排
- 每个话路时隙内将样值编为8位二进制码元，每个码元占 3.9 μ s 8 = 488 n s \dfrac{3.9 \mu s}{8}=488ns 83.9μs=488ns，成为一比特，编码号为 1 ∼ 8 1 \sim 8 1∼8
- 第1比特为极性码，第 2 ∼ 4 2 \sim 4 2∼4比特为段落码，第 5 ∼ 8 5 \sim 8 5∼8比特为段内码
- 同步帧
- 为了使收发两端严格同步，每帧都要传送一组特定标志的帧同步码组或监视码组—— T S 0 TS_0 TS0时隙
- 帧同步码组0011011，占用偶帧的第 2 ∼ 8 2 \sim 8 2∼8码位。第1比特供国际通信用，不用时发送“1”码
- 奇帧 T S 0 TS_0 TS0时隙第3为为帧失步告警用，以 A 1 A_1 A1表示：同步送0码，失步送1码
- 为避免奇帧 T S 0 TS_0 TS0的第 2 ∼ 8 2 \sim 8 2∼8码位出现假同步码组，第2位规定为监视码，固定为1，第 4 ∼ 8 4 \sim 8 4∼8位码位国内通信用，目前暂定为1
每一个复帧结构中，只有一个复帧同步信号，在 F 0 F_0 F0的 T S 16 TS_{16} TS16中。每一个复帧中的每一帧都有帧同步信号，在 F 0 ∼ F 31 F_0 \sim F_{31} F0∼F31的 T S 0 TS_0 TS0中
8.3.4 数字复接和码速调整
- 复接：解决来自若干条链路的多路信号的合并和区分
- 将低次群合并成高次群的过程称为复接反之，将高次群分解为低次群的过程称为分接
- 关键技术问题：多路TDM信号时钟的统一和定时问题
- 码速调整
- 低次群合成高次群时，需要将低次群信号的时钟调整一致，再作合作。为此，要增加一些开销
- 一次群的速率是2.048Mb/s，4路一次群的总速率应该时8.192Mb/s，但是实际上二次群的速率时8.448Mb/s，这额外的256kb/s中就包括码速调整所需的开销
- 码速调整方案
- 正码速调整、负码速调整、正/负码度调整
- 低次群合成高次群时，需要将低次群信号的时钟调整一致，再作合作。为此，要增加一些开销
8.3.4.1 数字复接系统
- 复接器
- 把各支路送来的低次群信号复接成高次群信号，如支路送来的是基群，则复接后组成二次群，如支路送来的时二次群，则复接后构成三次群。
- 完成的功能是将各支路送来的脉冲宽度变窄，并将相位调整到适合位置，以便容纳更多话路
- 低次群数字信号的复接类型
- 同步复接：被复接的各支路信号使用时钟都是由一个总时钟提供
- 异步复接：各支路信号的时钟并非来自统一时钟源，各信号之间不存在同步关系
- 准同步复接：如果各支路信号的时钟由不同的时钟源提供，而这些时钟源在一定的容差范围内为标称相等情况——实际中多数复接都是准同步复接
- 码速率调整单元的功能时对各支路接入的信号频率和相位进行微调，使之与本机的定时完全同步，以实现准同步复接功能。
8.3.4.2 复接等级和速率系列
四次及四次群一下的高次群，都是采用准同步数字系列（PDH）。相邻群之间路数成4倍关系，但比特率之间并不是严格的4倍关系
【原因】需要将各路输入信号的时钟统一调整，再做合并，需要引入码速调整等额外开销，其输出比特率都高于相应的1路输入比特率的4倍
ITU制定了同步数字系列（SDH）标准，以适应宽带综合业务数字网的的传输需求
SDH是 针对更高速率的传输系统制定出的全球统一的标准
整个网络中各设备的时钟来自一个极精确的时间标准，没有准同步系统中各设备定时存在误差的问题
SDH中信息是以“同步传送模块（STM）”的信息结构传送的
一个同步传送模块主要由信息有效负荷和段开销（SOH）组成块状帧结构，其重复周期为125 μ s \mu s μs
按照模块的大小和传输速率不同，SDH分为若干等级
在各级间速率是4倍的关系，没有额外开销
| 等级 | 比特率(Mb/s) |
|---|---|
| STM-1 | 155.52 |
| STM-4 | 622.08 |
| STM-16 | 2488.32 |
| STM-64 | 9953.28 |
8.4 码分复用（CDM）
8.4.1 基本原理
在码分复用中各路信号码元在频谱上和时间上都是混叠的，但是代表每个码元的码组是正交的
-
码组正交的概念
设 x x x和 y y y表示两个码组：
x = ( x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x N ) x=(x_1,x_2,...,x_i,...,x_N) x=(x1,x2,...,xi,...,xN)
y = ( y 1 , y 2 , . . . , y i , . . . , y N ) y=(y_1,y_2,...,y_i,...,y_N) y=(y1,y2,...,yi,...,yN) -
互相关系数定义：
ρ ( x , y ) = 1 N ∑ i = 1 N x i y i \rho(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_iy_i ρ(x,y)=N1i=1∑Nxiyi
- 两码组正交的必要和充分条件：
ρ ( x , y ) = 0 \rho(x,y)=0 ρ(x,y)=0
- 互相关系数定义式：
ρ ( x , y ) = A − D A + D \rho(x,y)=\frac{A-D}{A+D} ρ(x,y)=A+DA−D
A A A为 x x x和 y y y中对应码元相同的个数； D D D为 x x x和 y y y中对应码元不同的个数
- 码组自相关系数的定义：
ρ x ( j ) = 1 N ∑ i = 1 N x i x i + j \rho_x(j)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_ix_{i+j} ρx(j)=N1i=1∑Nxixi+j
若设 x i x_i xi取值“0”或“1”，则自相关系数：
ρ ( x i , x i + j ) = A − D A + D \rho(x_i,x_{i+j})=\frac{A-D}{A+D} ρ(xi,xi+j)=A+DA−D
式中 x i x_i xi和 x i + j x_{i+j} xi+j中对应码元相同的个数； D D D为 x i x_i xi和 x i + j x_{i+j} xi+j中对应码元不同的个数
- 按照互相关系数 ρ \rho ρ值的不同
当 ρ = 0 \rho=0 ρ=0时，称码组为正交编码
当 ρ ≈ 0 \rho \approx0 ρ≈0时，称码组为准正交码
当 ρ < 0 \rho<0 ρ<0时，称其为超正交码
- 正交编码和其反码可以构成双正交码
8.4.2 正交码
-
阿达玛矩阵：简称H矩阵
- H矩阵是一个方针，仅有元素+1和-1构成，而且其各行（和列）时互相正交的
- 最低阶的阿达玛矩阵时2阶的，即
H 2 = [ + 1 + 1 + 1 − 1 ] H_2=\begin{bmatrix} +1 & +1\\ +1 & -1 \end{bmatrix} H2=[+1+1+1−1] - 阶数为2的幂的阿达玛矩阵可以用递推公式求出：
H N = H N 2 × H 2 H_N=H_{\frac{N}{2}} \times H_2 HN=H2N×H2
-
正规阿达玛矩阵
- H矩阵时对称矩阵，第一行和第一列中的元素权威“+”，称为正规H矩阵
-
H矩阵的性质：
- 若交换正规H矩阵的任意两行或两列，活着改变任一行（或列）中的全部元素的符号，此矩阵仍为H矩阵
- 高于2阶的H矩阵的阶数一定是4的倍数
-
H矩阵是一种正交方阵，若把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种长为n的正交编码，它包含n个码组
- 长度为n的编码共有 2 n 2^n 2n个不同码组，只将这n个码组作为准用码组，其余 ( 2 n − 1 ) (2^n-1) (2n−1)个为禁用码组，则可以将其多余度用来纠错
- 这种编码在纠错编码理论中称为里德-缪勒码
-
沃尔什矩阵
- 将H矩阵中各行按符号改变次数由少到多排列，得出沃尔什矩阵（简称W矩阵）
H 8 = [ + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 ] H_8= \begin{bmatrix} +1 & +1 & +1 & +1 & +1 & +1 & +1& +1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 & +1 & -1 & +1 & -1 \\ +1 & +1 & -1 & -1 & +1 & +1 & -1 & -1 \\ +1 & +1 & +1 & +1 & -1 & -1 & -1 &-1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 & -1 & +1 & -1 & +1 \\ +1 & +1 & -1 & -1 & -1 & -1 & +1 & +1 \\ +1 & -1 & -1 & +1 & -1 & +1 & +1 & -1 \end{bmatrix} H8=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡+1+1+1+1+1+1+1+1−1+1+1−1+1−1+1+1−1+1+1−1−1+1−1−1+1−1−1+1+1+1+1−1−1−1−1+1−1+1−1+1−1+1+1+1−1−1−1+1+1+1−1−1−1+1+1−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
W 8 = [ + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 ] W_8=\begin{bmatrix} +1 & +1 & +1 & +1 & +1 & +1 & +1 & +1 \\ +1 & +1 & +1 & +1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ +1 & +1 & -1 & -1 & -1 & -1 & +1 & +1 \\ +1 & +1 & -1 & -1 & +1 & +1 & -1 & -1 \\ +1 & -1 & -1 & +1 & +1 & -1 & -1 & +1 \\ +1 & -1 & -1 & +1 & -1 & +1 & +1 & -1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 & -1 & +1 & -1 & +1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 & +1 & -1 & +1 & -1 \end{bmatrix} W8=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1−1−1−1−1+1+1−1−1−1−1+1+1+1+1−1−1+1+1−1−1+1−1−1+1+1−1−1+1+1−1−1+1−1+1+1−1+1−1+1−1−1+1−1+1+1−1+1−1+1−1+1−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
- W矩阵仍保有正交性
8.5 伪随机码——又称伪随机序列
- 具有类似白噪声的随机特性，又能重复产生
- 具有良好的相关特性，可以用于码分复用、多址接入、测距、密码、扩展频谱通信和分离多径信号等许多用途
- 伪随机序列有多种： m m m序列最为重要
m序列
- m m m序列是由线性反馈移位寄存器产生的周期最长的序列
8.5.1 线性反馈移位寄存器
m m m序列是最长线性反馈移存序列的简称，它是由带线性反馈的移存器产生的周期最长的一种序列
- 线性反馈移位寄存器
在移位脉冲作用下，移位寄存器各级的状态将不断变化。将移位寄存器的最后一级作为输出，则输出序列为
a k = a 0 a 1 . . . a n − 1 . . . {a_k}=a_0a_1...a_{n-1}... ak=a0a1...an−1...
输出序列是一个周期序列，其特性由移位寄存器的级数、初始状态、反馈逻辑以及时钟速率（决定着输出码元的宽度）决定
当移位寄存器的级数及时钟一定时，输出序列就由移位寄存器的初始状态及反馈逻辑完全确定
当厨师状态为全零状态时，移位寄存器输出全0序列：需设置全0排出电路
-
线性反馈移位寄存器的递推关系式
设线性反馈移位寄存器的初始状态为 a 0 a 1 . . . a n − 2 a n − 1 a_0a_1...a_{n-2}a_{n-1} a0a1...an−2an−1，经一次移位线性反馈，移位寄存器左端第一级的输入为
a n = c 1 a n − 1 + c 2 a n − 2 + . . . . + c n − 1 a 1 + c n a 0 = ∑ i = 1 n c i a n − i a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+....+c_{n-1}a_1+c_na_0=\sum_{i=1}^{n} c_ia_{n-i} an=c1an−1+c2an−2+....+cn−1a1+cna0=i=1∑ncian−i
若经 k k k次移位，则左端第一级的输入为：
a n + k − 1 = ∑ i = 1 n c 1 a n + k − 1 − i a_{n+k-1}=\sum_{i=1}^{n}c_1a_{n+k-1-i} an+k−1=i=1∑nc1an+k−1−i
称为递推方程，它给出移位输入 a n + k − 1 a_{n+k-1} an+k−1与移位前各级状态的关系 -
线性反馈移位寄存器的特征多项式 f ( x ) f(x) f(x)
描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态
f ( x ) = c 0 + c 1 x + . . . + c n x n = ∑ i = 1 n c i x i f(x)=c_0+c_1x+...+c_nx^n=\sum_{i=1}^{n} c_ix^i f(x)=c0+c1x+...+cnxn=i=1∑ncixi
为特征方程（或特征多项式）
x i x^i xi本身并无实际意义，它仅指明其系数时 c i c_i ci的值
-
本原多项式
若一个 n n n次多项式 f ( x ) f(x) f(x)满足条件- f ( x ) f(x) f(x)为既约多项式（不能分解因式的多项式）
- f ( x ) f(x) f(x)可整除 ( x p + 1 ) (x^p+1) (xp+1)， p = 2 n − 1 p=2^n-1 p=2n−1
- f ( x ) f(x) f(x)除不尽 ( x q + 1 ) (x^q+1) (xq+1)， q < p q < p q<p
则称 f ( x ) f(x) f(x)为本原多项式
-
反馈移位寄存器能产生m序列的充要条件
反馈移位寄存器的特征多项式为本原多项式 -
本原多项式的逆多项式为本原多项式
( x 4 + x + 1 ) (x^4+x+1) (x4+x+1)和 ( x 4 + x 3 + 1 ) (x^4+x^3+1) (x4+x3+1)互为逆多项式，即10011与11001互为逆码
- 母函数
将线性反馈移位寄存器的输出序列 a k a_k ak用代数方程表示为
G ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . = ∑ k = 0 ∞ a k x k G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k G(x)=a0+a1x+a2x2+...=k=0∑∞akxk递推方程、特征方程和母函数就是需要建立的3个基本关系式
【定理8.1】
f ( x ) ⋅ G ( x ) = h ( x ) f(x) \cdot G(x)=h(x) f(x)⋅G(x)=h(x)式中， h ( x ) h(x) h(x)为次数低于 f ( x ) f(x) f(x)次数的多项式
【定理8.2】
一个n级线性反馈移存器之相继状态具有周期性，周期为 p ≤ 2 n − 1 p \leq 2^n-1 p≤2n−1
【定理8.3】
若序列 A = [ a k ] A=[a_k] A=[ak]具有最长周期 p = 2 n − 1 p=2^n-1 p=2n−1，则其特征多项式 f ( x ) f(x) f(x)应为既约多项式
【定理8.4】一个n级寄存器的特征多项式 f ( x ) f(x) f(x)若为既约的，则由其产生的序列 A = [ a k ] A=[a_k] A=[ak]的周期等于使 f ( x ) f(x) f(x)能整除的 x p + 1 x^p+1 xp+1中最小整数 p p p
8.5.2 m m m序列产生器
4级移存器共有 2 4 = 16 2^4=16 24=16种可能状态，其周期 p p p最长等于 2 4 − 1 = 15 2^4-1=15 24−1=15
-
本原多项式表
- 有时将本原多项式用8进制数字表示
例如，对于n=4表中给出“23”，它表示 ( 23 ) o = ( 010011 ) b (23)_o=(010011)_b (23)o=(010011)b，即 c 0 = c 1 = c 4 = 1 , c 2 = c 3 = c 5 = 0 c_0=c_1=c_4=1,c_2=c_3=c_5=0 c0=c1=c4=1,c2=c3=c5=0， f ( x ) = x 4 + x + 1 f(x)=x^4+x+1 f(x)=x4+x+1
- 有时将本原多项式用8进制数字表示
8.5.3 m序列的性质
8.5.3.1 均衡性（平衡性）
m序列的每一个周期中，1的个数比0的个数多1个
由于周期 p = 2 n − 1 p=2^n-1 p=2n−1为奇数，在每一周期中1的个数为 p + 1 2 = 2 n − 1 \dfrac{p+1}{2}=2^{n-1} 2p+1=2n−1为偶数，而0的个数为 p − 1 2 = 2 n − 1 − 1 \dfrac{p-1}{2}=2^{n-1}-1 2p−1=2n−1−1
当 p p p足够大时，在一个周期中1与0出现的次数基本相等
8.5.3.2 游程特性（游程分布的随机性）
把一个序列中 取值（1或0）相同连在一起的元素合称为一个游程
在一个游程中元素的个数称为游程长度
m序列的一个周期 p = 2 n − 1 p=2^n-1 p=2n−1中，游程总数为 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1，其中长度为1的游程个数占游程总数的 1 2 \dfrac{1}{2} 21，长度为2的游程个数占游程总数的 1 2 2 = 1 4 \dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4} 221=41；长度为3的游程个数占游程总数的 1 2 3 = 1 8 \dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8} 231=81
一般地，长度为 k k k的游程个数占游程总数的 1 2 k = 2 − k \dfrac{1}{2^k}=2^{-k} 2k1=2−k，其中 1 ≤ k ≤ n − 1 1 \leq k \leq {n-1} 1≤k≤n−1。而且，在长度为 k k k的游程中，连1游程与连0游程个站一半
长度为 n − 1 n-1 n−1的游程是连0游程，长度为n的游程是连1游程
8.5.3.3 移位相加特性（线性叠加性）
m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该m序列的某个位移序列
设 m r m_r mr是周期为 m m m序列 m p m_p mp经 r r r次延迟移位后的序列，那么
m p ⊕ m r = m s m_p \oplus m_r=m_s mp⊕mr=ms
其中， m s m_s ms为 m p m_p mp经某次延迟惟一后的序列。
8.5.3.4 自相关特性
m序列的自相关函数可以定义为：
ρ ( j ) = A − D A + D \rho(j)= \frac{A-D}{A+D} ρ(j)=A+DA−D
ρ ( j ) { 1 , 当 j = 0 − 1 m , 当 j = 1 , 2 , . . . , m − 1 \rho(j) \begin{cases} 1&,\text{当}j=0\\ -\frac{1}{m}&,\text{当}j=1,2,...,m-1 \end{cases} ρ(j){1−m1,当j=0,当j=1,2,...,m−1
不难看出：由于 m m m序列有周期性，其自相关函数也有周期性，周期也是 m m m，即 ρ ( j ) = ρ ( j − k m ) \rho(j)=\rho(j-km) ρ(j)=ρ(j−km)
而且 ρ ( j ) \rho(j) ρ(j)是偶函数，即有 ρ ( j ) = ρ ( − j ) , j = 整数 \rho(j)=\rho(-j),j=\text{整数} ρ(j)=ρ(−j),j=整数
- 功率谱密度
信号的自相关函数与功率谱密度构成一对傅立叶变换
对 m m m序列的自相关函数作傅立叶变换，求出其功率谱密度
P s ( ω ) = m + 1 m 2 2 [ sin ( ω T 0 2 m ) ω T 0 2 m ] 2 ∑ n = − ∞ , n ≠ 0 ∞ δ ( ω − 2 π m T 0 ) + 1 m 2 δ ( ω ) P_s(\omega)=\frac{m+1}{m^2}^2[\frac{\sin(\frac{\omega T_0}{2m})}{\frac{\omega T_0}{2m}}]^2\sum_{n=-\infty,n \neq 0}^{\infty}\delta(\omega-\frac{2 \pi m}{T_0})+\frac{1}{m^2}\delta(\omega) Ps(ω)=m2m+12[2mωT0sin(2mωT0)]2n=−∞,n=0∑∞δ(ω−T02πm)+m21δ(ω)
R ( τ ) = { 1 − m + 1 T 0 ∣ t − i T 0 ∣ , 0 ≤ ∣ τ − i T 0 ∣ ≤ T 0 m , i = 0 , 1 , 2 , . . . − 1 m , 其他 R(\tau)= \begin{cases} 1-\frac{m+1}{T_0}|t-iT_0|&,0 \leq |\tau-iT_0| \leq \frac{T_0}{m},i=0,1,2,...\\ -\frac{1}{m}&,\text{其他} \end{cases} R(τ)={1−T0m+1∣t−iT0∣−m1,0≤∣τ−iT0∣≤mT0,i=0,1,2,...,其他
在 T 0 → ∞ T_0\to \infty T0→∞和 m T 0 → ∞ \frac{m}{T_0} \to \infty T0m→∞时， P s ( ω ) P_s(\omega) Ps(ω)的特性趋于白噪声的功率谱密度特性
8.5.3.5 伪噪声特性
如果对一个正态分布白噪声取样，取样值为正，记为+1，取样值为负，记为-1，将每次取样所得极性拍成序列，可写成…+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,…
这是一个随机序列，它具有如下基本性质：
- 序列中+1和-1出现的概率相等
- 序列中长度为1的游程约占 1 2 \dfrac{1}{2} 21，长度为2的游程约占 1 4 \dfrac{1}{4} 41，长度为3的游程约占 1 8 \dfrac{1}{8} 81，…一般地，长度为 k k k的游程约占 1 2 k \dfrac{1}{2^k} 2k1，而且+1，-1游程的数目各占一半
- 由于白噪声的功率谱为常数，自相关函数为一冲击函数 δ ( τ ) \delta(\tau) δ(τ)
为什么说 m m m序列是伪噪声序列？
由于m序列的均衡性、游程分布、自相关特性和功率谱密度等都与上述随机序列的基本性质很相似（近似白噪声的特性），但是它又有规律，可以重复产生 → \to → 通常认为m序列属于伪噪声序列或伪随机序列
- 非线性反馈移存器序列：二次剩余序列和M序列
8.5.4 m序列的应用
8.5.4.1 误码率测量
在测量单程数字通信的误码率时，不能利用随机序列，只能用伪随机序列代替它
伪随机寻列 → \to →发送 → \to →信道 → \to → 接收 → \to → 比较 → \to →记录
接收后经过同步信号的伪随机序列与接收到的伪随机序列比较
8.5.4.2 时延测量
用一移位的m序列与被测量的讲过传输路径延迟的m序列相关，当两个序列相位相同时，可得到相关峰，由移位m序列的相位差可以求得延迟
8.5.4.3 通信加密（略）
8.5.4.4 数据序列的扰乱和解扰（略）
8.5.4.5 扩展频谱通信
将基带信号的频谱通过某种调制扩展到远大于原基带信号带宽的系统，其占用带宽远大于传输该原始信号所需的最小带宽
扩展频谱技术的理论基础是香农公式
C = B log 2 ( 1 + S N ) C=B\log_2(1+\frac{S}{N}) C=Blog2(1+NS)
这个公式表明：在保持信息传输速率不变的条件下，信噪比和带宽之间具有互换关系，就是说，可以用扩展信号的频谱作为代价，换取用很低信噪比传送信号，同样可以得到很低的差错率。
- 扩频系统的特点
- 具有选择地址能力
- 信号的功率谱密度很低，有利于信号的隐蔽
- 有利于加密，防止窃听
- 抗干扰性强
- 抗衰落能力强
- 对于多元接入系统能实现码分复用
- 扩频通信的目的
- 提高抗窄带干扰的能力
- 防止窃听
- 提高抗多径传输效应的能力
- 多个用户可以共用同一频带
- 提供测距能力
- 扩频技术一般可分为以下三类
直接序列调制系统、频率跳变系统和线性调频 - 直接序列调制系统
- 通常用一段伪随机序列表示一个信息码元，对载波进行调制（最常用的是2PSK）
- 伪码的一个单元称为一个码片
- 由于码片的速率远高于信息码元的速率，所以已调信号的频谱得到扩展
8.5.4.6 分离多径技术
多径传播引起衰落的原因在于每条路径接受信号的相位不同。如果在接收端能够设法将多径信号的各条路径分离开，就有可能分别校正每条路径接受信号的相位，使之按同相相加，从而克服衰落现象。这种技术称为分离多径技术