【数字信号处理】线性卷积的理解

前言

卷积是信号处理中非常重要的运算。在信号与系统课程中要学习线性卷积，在数字信号处理课程中要学习循环卷积。今天我们来简单谈谈线性卷积相关的知识。为循环卷积的学习打下良好基础。

线性卷积的定义及运算

对于线性时不变（LTI）的离散时间系统，任意信号x(n)通过系统h(n)得到的输出y(n)即为x(n)和h(n)的线性卷积。定义：

计算线性卷积需要四步：反转、平移、相乘、相加。

已知x(n),h(n)，观察上式，为了进行计算，需要经过序列的简单运算得到定义式中形式的序列。步骤是这样的：

❶变量代换

得到x(m)和h(m).再观察定义式，需要的是h(n-m)。肿么办？这里m为变量，而n为常数。所以需要先得到h(-m)。明白了这一点。下来的操作就很显然了。将h(m)反转，即可得h(-m)；

❷移位

将h(-m)移位n，变成 h(n-m)，n为正数，右移n位，n为负数，左移n位。h(-m)=h(0-m)（相当于n=0）；

❸相乘

将 h(n-m)与x(m)在相同的m所对应的点相乘；

❹相加

将所有对应点乘积累加起来，就得到n时刻的卷积值

【注意】经过这4步以后得到的是y(n)在n时刻的值。如n=0,此时计算得y(0)。所以，还需要对所有的n重复以上步骤，就可得到所有的卷积值y(n)。

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对于有限长序列的卷积，我们可以用如下的不进位乘法来进行计算。以例子来说明

x(n) = [0 1 2 3 4]     ,h(n) =[2 3 1 5 7]    ,y(n)=x(n)*h(n)？

   备注：资料来源于刘树棠的信号与系统以及公众号：西邮信号处理