整数划分 --- 一个老生长谈的问题 动态规划

整数划分 --- 一个老生长谈的问题:
  1) 练练组合数学能力.
  2) 练练递归思想
  3) 练练DP
  总之是一道经典的不能再经典的题目:
  这道好题求:
  1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
  2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
  3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
  4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
  5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

 

1.将n划分成不大于m的划分法: 

   1).若是划分多个整数可以存在相同的:

    dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]  dp[n][m]表示整数 n 的划分中,每个数不大于 m 的划分数。
       则划分数可以分为两种情况:
       a.划分中每个数都小于 m,相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
       b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分, 故划分数为 dp[n-m][m];

  2).若是划分多个不同的整数:

  dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1]   dp[n][m]表示整数 n 的划分中,每个数不大于 m 的划分数。
      同样划分情况分为两种情况:
      a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
      b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分,

   并且每一个数不大于m-1,故划分数为 dp[n-m][m-1]

  2.将n划分成k个数的划分法:

 dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

     方法可以分为两类:
       第一类: n 份中不包含 1 的分法,为保证每份都 >= 2,可以先拿出 k 个 1 分
     到每一份,然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可,分法有: dp[n-k][k]
       第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法,可以先那出一个 1 作为单独的1份,剩
     下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可,分法有:dp[n-1][k-1]

  

  3.将n划分成若干奇数的划分法:(不懂)

    g[i][j]:将i划分为j个偶数

    f[i][j]:将i划分为j个奇数
     g[i][j] = f[i - j][j];
     f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];

 

    路过的大牛求解释,谢谢~

  代码如下所示:

复制代码
/*
 * hit1402.c
 *
 *  Created on: 2011-10-11
 *      Author: bjfuwangzhu
 */

#include
#include<string.h>
#define nmax 51
int num[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的个数
int num1[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的不同的数
int num2[nmax][nmax]; //将i划分为j个数
int f[nmax][nmax]; //将i划分为j个奇数
int g[nmax][nmax]; //将i划分为j个偶数
void init() {
    int i, j;
    for (i = 0; i < nmax; i++) {
        num[i][0] = 0, num[0][i] = 0, num1[i][0] = 0, num1[0][i] = 0, num2[i][0] =
                0, num2[0][i] = 0;
    }
    for (i = 1; i < nmax; i++) {
        for (j = 1; j < nmax; j++) {
            if (i < j) {
                num[i][j] = num[i][i];
                num1[i][j] = num1[i][i];
                num2[i][j] = 0;
            } else if (i == j) {
                num[i][j] = num[i][j - 1] + 1;
                num1[i][j] = num1[i][j - 1] + 1;
                num2[i][j] = 1;

            } else {
                num[i][j] = num[i][j - 1] + num[i - j][j];
                num1[i][j] = num1[i][j - 1] + num1[i - j][j - 1];
                num2[i][j] = num2[i - 1][j - 1] + num2[i - j][j];
            }
        }
    }
    f[0][0] = 1, g[0][0] = 1;
    for (i = 1; i < nmax; i++) {
        for (j = 1; j <= i; j++) {
            g[i][j] = f[i - j][j];
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
        }
    }
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
    int n, k, i, res0, res1, res2, res3, res4;
    init();
    while (~scanf("%d %d", &n, &k)) {
        res0 = num[n][n];
        res1 = num2[n][k];
        res2 = num[n][k];
        for (i = 0, res3 = 0; i <= n; i++) {
            res3 += f[n][i];
        }
        res4 = num1[n][n];
        printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n\n", res0, res1, res2, res3, res4);
    }
    return 0;
}
复制代码


将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式:
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5

    首先考虑一般的形式,设n为被划分的正整数,x为划分后最小的整数,如果n有一种划分,那么
结果就是x,如果有两种划分,就是x和x x + 1, 如果有m种划分,就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n,i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例,当i = 1时,即划分成一个正整数时,x = 15, 当i = 2时, x = 7。
当x = 3时,x = 4, 当x = 4时,4/9,不是正整数,因此,15不可能划分成4个正整数相加。
当x = 5时,x = 1。

    这里还有一个问题,这个i的最大值是多少?不过有一点可以肯定,它一定比n小。我们可以做一个假设,
假设n可以拆成最小值为1的划分,如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设,
那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n,即当i满足
这个公式时n才可能被划分。

代码如下:

复制代码
void split(int n) {
    int i, j, te, x, xlen;
    for (i = 1, xlen = 0; (te = i * (i - 1) / 2) < n; i++) {
        x = n - te;
        if (x % i == 0) {
            x /= i;
            printf("%d", x);
            for (j = 1; j < i; j++) {
                printf("%d ", x + j);
            }
            printf("\n");
            xlen++;
        }
    }
    printf("%d\n", xlen);
}
复制代码


 

以下是转载的:

  求划分因子乘积最大的一个划分及此乘积
  问题简述:给定一个正整数n, 则在n所有的划分中, 求因子乘积最大的一个划分及此乘积。例如:8 = {8}, {7, 1}, {6, 2}, {5, 3}, {4, 4}, {3, 3, 2}, {2, 2, 2, 2} 等,那么在这些当中,3 * 3 * 2 的乘积最大,所以输出整个划分
和这个乘积 18。
  算法分析:这是我在某个论坛上看到的问题,以及别人针对此问题的数学分析,现简单的整理如下:
  (1)对于任意大于等于4的正整数m, 存在一个划分m = m1+m2, 使 m1*m2 >= m证: 令m1 = int(m/2), 则 m1 >= 2 , m2 = m-m1; 那么m2 > 2,并且 m2 >= m/2 >= m1;    m1*m2 >= 2*m2 >= m; 证毕;
该证明简单的来说就是:对于一个大于等于4的正整数m,存在一个2块划分的因子,这两个因子的乘积总是不小于原数m本身。
  (2)由(1)知此数最终可以分解为 2^r * 3^s。现证明 r <= 2;
  证:若r > 2, 则至少有3个因子为2, 而2*2*2 < 3*3;
  所以可以将3个为2的因子,换为两个因子3;积更大;证毕。
  综合(1),(2),则有:任何大于4的因子都可以有更好的分解, 而4可以分解为2*2。
  所以:此数应该分解为 2^k1 * 3^k2。而且可以证明 k1>=0 并且 k1 <= 2,因此:
     A.当n = 3*r 时, 分解为 3^r
     B.当n = 3*r+1时, 分解为 3^(r-1)*2*2
     C.当n = 3*r+2时, 分解为 3^r*2
  剩下编程处理,那就是太简单了,首先是处理 <= 4的特殊情况,再对>4的情况进行模3的3种情况的判断,最后一一输出。可见,数学在整数划分问题上有太强的功能。谁叫这个问题叫整数划分呢,不与数学密切才怪! ^_^。

 

  小学六年级奥数---整数划分(有用结论)

  例1:把14分拆成若干个自然数的和,再求出这些数的积,要使得到的积最大,应该把14如何分拆?这个最大的乘积是多少?


  分析与解:我们先考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
  首先,分成的数中不能有1,这是显然的。
  其次,分成的数中不能有大于4的数,否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和,这两个数的乘积一定比原数大,例如7就比它分拆成的2和5的乘积小。
  再次,因为4=2×2,故我们可以只考虑将数分拆成2和3。
  注意到2+2+2=6,2×2×2=8;3+3=6,3×3=9,因此分成的数中若有三个2,则不如换成两个3,换句话说,分成的数中至多只能有两个2,其余都是3。根据上面的讨论,我们应该把14分拆成四个3与一个2之和,即14=3+3+3+3+2,这五数的积有最大值 3×3×3×3×2=162。
  将上述结论推广为一般情形便是:
  把自然数S(S>1)分拆为若干个自然数的和:   S=a1+a2+…+an,则当a1,a2,…,an中至多有两个2,其余都是3时,其连乘积m=a1a2…an有最大值。

  例2:把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和,且使这些自然数的乘积最大,该乘积是多少?
解:由于把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种,因而一定存在一种分法,使得这些自然数的乘积最大。
  若1作因数,则显然乘积不会最大。把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和,因数个数越多,乘积越大。为了使因数个数尽可能地多,我们把1993分成2+3…+n直到和大于等于1993。
若和比1993大1,则因数个数至少减少1个,为了使乘积最大,应去掉最小的2,并将最后一个数(最大)加上1。
若和比1993大k(k≠1),则去掉等于k的那个数,便可使乘积最大。
所以n=63。因为2015-1993=22,所以应去掉22,把1993分成(2+3+…+21)+(23+24+…+63)


这一形式时,这些数的乘积最大,其积为  2×3×…×21×23×24×…×63。

来源:http://www.cnblogs.com/xiaoxian1369/archive/2011/09/12/2174212.html


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