教你一波Lucas(卢卡斯)定理在数论解题中的应用

首先，Lucas（卢卡斯）定理是什么？有什么用？

Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p，p为素数的值。（注意：p一定是素数）

有人会想，C(n,m)不能用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式来递推吗？

（ 提示：C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p ）

可以是可以。但当n，m，p都很大时，你递推所用的时间就会很爆炸了。所以，这就需要用到Lucas定理来解决了。

因此，Lucas定理用来解决大组合数求模是很有用的。

注意：Lucas定理最大的数据处理能力是p在10^5左右，不能再大了。再大的话，我就不知道了。。。智障啊

表达式：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p。（可以递归）

递归方程：(C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p。（递归出口为m==0，return 1）

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Lucas定理定义：：

这里我们令n=sp+q , m=tp+r .（q ，r ≤p）

 那么： 

（在编程时你只要继续对

 

调用Lucas定理即可。 ）

（代码可以递归的去完成这个过程，其中递归终点为 t = 0  ）

（时间复杂度 O（logp(n)*p) ：）

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Lucas定理 证明 ：

首先你需要这个算式： ， 其中f > 0&& f < p。

然后(1 + x) nΞ(1 + x) sp+q Ξ( (1 + x)p)s· (1 + x) q Ξ(1 + xp) s· (1 + x) q(mod p) 。

所以得(1 + x) sp+q  

我们求右边的

 

的系数为：

求左边的

 

为：

通过观察你会发现当且仅当i = t , j = r ,能够得到 的系数，及 。

所以，。得证。

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我再次将它公式化一下。

For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds:

where

and

are the base  p  expansions of  m  and  n  respectively.

已知C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然是除法取模，这里又要用到m!(n-m)!的逆元。

求逆元（此处不详细说明了(ˇˍˇ) ）。。。

根据费马小定理（点我）：

已知(a, p) = 1，则 a^p-1 ≡ 1 (mod p),  所以 a*a^p-2 ≡ 1 (mod p)。

也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)^{p-2 。}

按照上面的思路就可以写出Lucas定理的代码了：

参考代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N =1e5;
ll n, m, p, fac[N];
void init()
{
    int i;
    fac[0] =1;
    for(i =1; i <= p; i++)
        fac[i] = fac[i-1]*i % p;
}
ll q_pow(ll a, ll b)
{
    ll  ans =1;
    while(b)
    {
        if(b &1)  ans = ans * a % p;
        b>>=1;
        a = a*a % p;   
    }
    return  ans;
}

ll C(ll n, ll m)
{
    if(m > n)  return 0;
    return  fac[n]*q_pow(fac[m]*fac[n-m], p-2) % p;
}

ll Lucas(ll n, ll m )
{
    if(m ==0)  return 1;
    else return  (C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);
        init();
        printf("%I64d\n", Lucas(n, m));
    }
    return 0;
}