IEEE标准754浮点数转换【原理篇】

IEEE标准754浮点数

• IEEE浮点运算标准(IEEE 754)是电气和电子工程师协会(IEEE)于1985年建立的浮点计算技术标准。
• 该标准解决了各种浮点实现中发现的许多问题，这些问题使它们难以可靠地使用，并降低了它们的可移植性。
• IEEE标准754浮点数是当今计算机上实数最常见的表示形式，包括基于intel的PC、mac和大多数Unix平台。
• 有几种表示浮点数的方法，但是IEEE 754在大多数情况下是最有效的。IEEE 754有3个基本组件:

1. 尾数的符号 — 这和名字一样简单。0代表正数，1代表负数。
2. 偏置指数 — 指数字段需要同时表示正指数和负指数。为了得到存储的指数，向实际指数添加了一个偏差。
3. 正常的尾数 — 尾数是科学表示法中的数字或浮点数的一部分，由它的有效数字组成。这里只有两个数字，即0和1。所以一个标准尾数是小数点左边只有一个1的数。

IEEE 754数字由上述三部分组成:单精度和双精度。

TYPES	SIGN	BIASED EXPONENT	NORMALISED MANTISA	BIAS
Single precision	1(31st bit)	8(30-23)	23(22-0)	127
Double precision	1(63rd bit)	11(62-52)	52(52-0)	1023

示例

85.125
85 = 1010101
0.125 = 001
85.125 = 1010101.001
       =1.010101001 x 2^6 
sign = 0 

1. Single precision:
biased exponent 127+6=133
133 = 10000101
Normalised mantisa = 010101001
we will add 0's to complete the 23 bits

The IEEE 754 Single precision is:
= 0 10000101 01010100100000000000000
This can be written in hexadecimal form 42AA4000

2. Double precision:
biased exponent 1023+6=1029
1029 = 10000000101
Normalised mantisa = 010101001
we will add 0's to complete the 52 bits

The IEEE 754 Double precision is:
= 0 10000000101 0101010010000000000000000000000000000000000000000000
This can be written in hexadecimal form 4055480000000000 

特殊值:IEEE保留了一些可能产生歧义的值。

• 0
  0是一个特殊的值，用0的指数和尾数表示。-0和+0是不同的值，尽管它们都是相等的。
• 特殊函数
  如果指数都是0，但尾数不是，那么该值就是一个非正态化的数。这意味着这个数在二进制点之前没有一个假设的前导。
• 无穷
  值+∞和-∞用所有1的指数和所有0的尾数表示。符号位区分负无穷和正无穷。IEEE中定义了具有无限值的操作。
• Not A Number (NAN)
  值NAN用于表示一个错误值。当指数字段都是带有0符号位或尾数的1，而不是1后面跟着0时，就可以表示出这种情况。这是一个特殊的值，可以用来表示一个还没有值的变量。

EXPONENT	MANTISA	VALUE
0	0	exact 0
255	0	Infinity
0	not 0	denormalised
255	not 0	Not a number (NAN)

类似的双精度(只是用2049替换255)，浮点数的范围:

	DENORMALIZED	NORMALIZED	APPROXIMATE DECIMAL
Single Precision	± 2-149 to (1 – 2-23)×2-126	± 2-126 to (2 – 2-23)×2127	± approximately 10-44.85 to approximately 1038.53
Double Precision	± 2-1074 to (1 – 2-52)×2-1022	± 2-1022 to (2 – 2-52)×21023	± approximately 10-323.3 to approximately 10308.3

正浮点数的范围可以分为标准化数和非正规化数，它们只使用分数精度的一部分。因为每个浮点数都有一个对应的负值，所以上面的范围都是围绕0对称的。正浮点数的范围可以分为标准化数和非正规化数，它们只使用分数精度的一部分。因为每个浮点数都有一个对应的负值，所以上面的范围都是围绕0对称的。

单精度浮点数无法用目前提出的方案表示五个不同的数值范围:

1. 小于-(2 - 2^-23)×2¹²⁷的负数(负溢出)
2. 大于- 2^-149的负数(负潜流)
3. 0
4. 小于2^-149的正数(正潜流)
5. 大于(2 - 2^-23)×2¹²⁷的正数(正溢出)

溢出通常意味着值增长得太大而无法表示。下溢是一个不太严重的问题，因为它只是表示精度的损失，这是保证接近于零。

有限IEEE浮点数总有效范围表如下:

	BINARY	DECIMAL
Single	± (2 – 2-23) × 2127	approximately ± 1038.53
Double	± (2 – 2-52) × 21023	approximately ± 10308.25

特别的：

OPERATION	RESULT
n ÷ ±Infinity	0
±Infinity × ±Infinity	±Infinity
±nonZero ÷ ±0	±Infinity
±finite × ±Infinity	±Infinity
Infinity + Infinity Infinity – -Infinity	+Infinity
-Infinity – Infinity -Infinity + – Infinity	NaN
±0 ÷ ±0	NaN
±Infinity ÷ ±Infinity	NaN
±Infinity × 0	NaN
NaN == NaN	False