FMCW频谱

前面先简单介绍一下FMCW的基本原理，关心频谱描述的朋友请直接跳至“FMCW频谱的数学表达”和“实测FMCW频谱”一节。

你一定见过的FMCW时间-频率图

图1[1]: FMCW 锯齿扫频

图1是特别常见的FMCW雷达的锯齿扫频图，横轴为时间，纵轴为频率。这样的扫频，就是线性扫频，即信号源的频率随时间线性变化。红色线为发射的信号，黑色线为接收到的反射信号，图中的fIF就表示发射信号和接收到的目标反射信号的频率差，这个差值和雷达到目标的距离成正比。因此，只要知道了频率差$f_{IF}$，就可以计算出距离。

设扫频周期为Tchirp，简写为T，扫频带宽为B（从图上看，带宽为频率轴上最大值与最小值的差），则斜率k=B/T；现在已知频率差$f_{IF}$，可求得信号从发射到接收的时间差$t=f_{IF}/k$；电磁波在空气中以光速传播，已知速度和时间，可求出距离：$S=c\ast t=c\ast (f_{IF}\ast T/B)/2$。最后还要除以2，是因为电磁波一来一回，实际上走了目标距离的两倍。

如何求出频率差fIF？

图2[1]: FMCW雷达收发机结构

图2是典型的FMCW雷达收发机的结构，用一个硬件器件对两个频率求差，当然是使用混频器了，通过混频器对发射信号和接收信号混频，在中频电路中滤除高频分量就可以得到需要的中频信号$f_{IF}$。然后用ADC采样，送至处理器单元，进行FFT运算即可获知$f_{IF}$的具体数值。

FMCW频谱的数学表达

图1是我们常见的FMCW雷达的信号图形，但是它描述的是频率和时间的关系，那FMCW信号的频谱是什么样的呢？

图2中的表达式$cos(\Phi (t))$就是信号的时域表达，其中$\Phi (t)$随时间线性变化：
$\Phi (t)=2\pi (f_c+(B/T)t/2)t=2\pi f_{c}t+\pi (B/T)t^2$。
因此对上式做频域分析即可得到信号的频谱，但由于相位含有时间t的二次项，其数学推倒过程中运用了近似手段，过程比较复杂，感兴趣的读者留言吧，如果大家都比较感兴趣，我们就再一起探讨一下。

总之，频谱的数学表达为：
$X(\Omega )=j\sqrt{\pi /\alpha }{e}^{-j\pi /4}{e}^{-j{\Omega }^2/4\alpha }$ [2]

是不是太复杂了？别急，数学是优美的，只是常常我们看不懂而已（捂脸）。图3展示了其频谱的形状（请原谅一个灵魂画师的粗糙笔法）：

图3：FMCW频谱示意图

可见线性扫频的FMCW雷达的频谱近似为一个矩形，图中的黄色矩形画出的就是其带宽。有了频谱的数学表达和频谱图形展示，我们就可以测试FMCW信号源了。

实测FMCW频谱

前段时间为某项目订制了一款C波段FMCW信号源，下面我们实测一下，看看实测的频谱是否和理论推导的一样（打个广告哈，信号源具体信息见淘宝链接：https://item.taobao.com/item.htm?spm=a2oq0.12575281.0.0.5fd61debEDx6d2&ft=t&id=595016248435）
图4：FMCW信号源模块实物图 [3]

使用频谱分析仪查看信号的频谱，测试结果如图5所示：
图5：实测C波段FMCW信号频谱
对比一下图3和图5，发现理论推导的频谱和实测的频谱十分相似，可见线性扫频的FMCW信号的频谱和我们猜想和推导的结果是一样的，是一个近似矩形的频谱。

总结，本文简要描述了FMCW雷达的工作原理，通过数学描述和实测结果展示了线性扫频的FMCW信号频谱。水平有限，请多指教 ?
作者：伏熊（专业：射频芯片设计、雷达系统。爱好：嵌入式。欢迎大家项目合作交流。）
微信：GuoFengDianZi

// [1]: Using a complex-baseband architecture in FMCW radar systems, TI, Karthik Ramasubramanian
// [2]: Fundamentals of radar signal processing, second edition, Mark A. Richards
// [3]: https://item.taobao.com/item.htm?spm=a2oq0.12575281.0.0.5fd61debEDx6d2&ft=t&id=595016248435