拓展欧几里得算法求乘模逆元

前言：仅个人小记。之前已经证明了 “若正整数a,b互素，则必然存在b以内的正整数k，使得ak%b=1” 成立。本文进一步借助 拓展欧几里得算法，给出快速求解 k 值的方法，即求解乘法逆元的方法，具体多快？时间复杂度为O(log(b))。另外，除了在这里产生了求乘法逆元的需要，其他很多场合也有求解乘法逆元的需要，比如CRT中国剩余定理算法中、模幂乘循环群中求解逆元等。

前要知识

1. 如果$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=1，则a\perp b$。参看 https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/99944096
2. a与c互质且b与c互质，则必然ab与c互质。 参看 https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/95765764
3. 拓展欧几里得算法。参看 https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/100672171

问题交代

给出
$$ax\%p=1$$求
$$x=?$$

求解开始

由前要知识1知，既然$ax\%p=1$ 成立，则必然 $ax\perp p$，进而再由前要知识2必然有 $a\perp p,x\perp p$，所以必然有 a, p 的最大公约数为 1，记为 gcd(a,p)=1。
$$\begin{gathered} ax\%p=1 \\ \iff ax=kp+1,k为任意整数 \end{gathered}$$记$$k=-y$$则有
$$ax=-yp+1$$进而
$$ax+py=1$$即$$ax+by=1\iff ax+py=1\iff ax+py=gcd(a,b)$$此时问题转为拓展欧几里得算法求解问题，借助拓展欧几里得算法可以解出 x，即求解出 a 的乘模逆元。

代码求解展示(python)

 def getMulInverse(self,a,b):
        ''' 求解乘法逆元
        
        a,b互素，ak%b=1 ,求 a 的逆元 k
        
        本质上就是构建 ax+by=1 这个方程，然后借助拓展欧几里得算法进行求解
        显然 要求 ax%b=1 中 x，就等价于求解 (ax+by)%b=1 中的 x，就等价于求 ax+by=1中的 x
        '''
        if self.gcd(a,b)!=1:
            print('a,b不互素。模数为b的情况下,a 不存在逆元')
            return -1
        
        x,y,g = self.exGCD(a,b)# 调用拓展欧几里得函数
        return x