数学【1】：矩阵特征值与特征向量的求法

又忘记怎么求了？合上书本就抓瞎？简明教程附上

求法：

对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得[λ0E-A]X=0即齐次线性方程组

 

 

有非零解的充分必要条件是：

 

 

即说明特征根是特征多项式|λ0E-A| =0的根，由代数基本定理

 

 

有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λiE-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，(λiE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

示例

求矩阵

 

 

的特征值与特征向量。

解：由特征方程

 

 

解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4。

对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组(-2E-A)x=θ

 

 

得同解方程组x1-x2+x3=0，解为x1=x2-x3(x2,x3为自由未知量)。

分别令自由未知量

 

 

得基础解系

 

 

所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2不全为零)，可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数是特征根的重数。

对于特征值λ3=4，方程组(4E-A)x=q

 

 

得同解方程组为

 

 

通解为

 

 

令自由未知量x3=2得基础解系ξ3

 

 

所以A的对于特征值λ3=4得全部特征向量为x= k3ξ3

更多见：https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC/8309765#3

                  听说 点赞+关注 的人三天内bug减少80%哦(///ω///)