伯努利分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布

导语

       对于任何一个学习概率论的童鞋来说，各种分布都是很头痛的一件事情，本篇主要讨论的是离散型随机变量.

伯努利分布

       伯努利分布就是我们常见的0-1分布，即它的随机变量只取0或者1，各自的频率分别取 1−p 和 p ，当 x=0 或者 x=1 时，我们数学定义为：

p(x)=px∗(1−p)1−x

       其它情况下 p(x)=0 ，伯努利分布是一个非常好理解的分布，也是很多其它分布的基础。

离散型随机变量期望： E(x)=∑x∗p(x)
方差： D(x)=E(x2)−E2(x)

       对于伯努利分布来说， E(x)=1∗p+0∗(1−p)=p,D(x)=12∗p−p2=p(1−p)

二项分布

       二项分布是这样一种分布，假设进行n次独立实验，每次实验“成功”的概率为 p ，失败的概率为 1−p ，所有成功的次数 X 就是一个参数为 n 和 p 的二项随机变量.数学公式定义为：

p(k)=(nk)∗pk∗(1−p)n−k

       二项分布公式基于伯努利分布得到，因为二项分布中每项实验都是独立的，因此每一次实验都是一次伯努利实验，在 n 次实验中，成功 k 次，排列方式有 (nk) 种，根据乘法原理，即可得到二项分布的公式。

话外：对于均值和方差的计算， Xi 是标准的伯努利分布，总发生次数 X=∑n1Xi ，所以 E(X)=E(∑n1Xi)=∑n1E(Xi)=n∗p ，同理方差 D(x)=∑n1D(Xi)=n∗p∗(1−p)

几何分布和负二项分布

       这是一个比较简单的分布，其中负二项分布是几何分布的一般形式，几何分布与二项分布类似，也是由 n 次伯努利分布构成，随机变量 X 表示第一次成功所进行试验的次数，则

p(k)=P(X=k)=p∗(1−p)k−1,k=1,2,3,...

       负二项分布是几何分布的一般形式，表示直到成功r次停止，显而易见，当r=1时，它就是几何分布，则

P(X=k)=(k−1r−1)pr∗(1−p)k−r

关于几何分布的期望与方差， E(X)=1/p ， D(x)=(1−p)/p2 ，关于期望的证明， E(X)=∑∞n=1n∗p∗qn−1=p∗∑∞n=1(qn)′=p∗(∑∞n=1qn)′=1/p ，方差证明与期望证明类似，不再赘述…

超几何分布

       非常常见的一种分布，常用来表示在 N 个物品中有指定商品 M 个，不放回抽取 n 个，抽中指定商品的个数，即 X ~ H(N,n,M) ，则抽中k件的概率为：

p(k)=P(X=k)=(Mk)∗(N−Mn−k)(Nn)

       实际应用中超几何分布例子很多，比如彩票开奖你所符合的数字个数等。

泊松分布

       泊松分布是离散型随机变量分布中相对较难的一种，泊松频率函数定义为：

P(X=k)=λk∗e−λk!，k=0,1,2,3,...

       泊松分布是二项分布的极限形式，可有二项分布概率公式推导得出，其中 λ=n∗p ，当 n>>p 时，

p(k)=(nk)∗pk∗(1−p)n−k=n!∗pk∗(1−p)n−kk!∗(n−k)!=n!∗(λn)k∗(1−λn)n−kk!∗(n−k)!=λkk!∗n!(n−k)!∗k!∗(1−λn)n∗(1−λn)−k

当 n -> ∞ 时， λn ->0， n!(n−k)!∗k! ->1， (1−λn)n -> e−λ ， (1−λn)−k ->1，所以

p(k)−>λk∗e−λk!

泊松分布的期望和方差均为 λ ，证明过程严格按照定义即可，注意在证明过程中使用到了 eλ的泰勒展开

       泊松分布主要用来研究单位时间或单位空间内某时间的发生次数，同时事件的发生必须是相互独立的，比如单位时间内通过某一交通灯的车辆数等。 λ 大概等于20时，泊松分布基本可以近似为正态分布进行处理。
       泊松分布用来衡量事件的稳定性是一个不错的方法，再配合一些统计学上的检验方法，能够做很多东西，在之后的连续型随机变量中，有一种分布叫指数分布，它与泊松分布密不可分，可由泊松分布推导出…..敬请期待.