用Dancing Links求解数独
本文摘自：算法实践——舞蹈链（Dancing Links）算法求解数独
在“跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题”一文中介绍了舞蹈链（Dancing Links）算法求解精确覆盖问题。
本文介绍该算法的实际运用，利用舞蹈链（Dancing Links）算法求解数独。
在前文中可知，舞蹈链（Dancing Links）算法在求解精确覆盖问题时效率惊人。
那利用舞蹈链（Dancing Links）算法求解数独问题，实际上就是下面一个流程：
1、把数独问题转换为精确覆盖问题
2、设计出数据矩阵
3、用舞蹈链（Dancing Links）算法求解该精确覆盖问题
4、把该精确覆盖问题的解转换为数独的解
首先看看数独问题（9*9的方格）的规则：
1、每个格子只能填一个数字
2、每行每个数字只能填一遍
3、每列每个数字只能填一遍
4、每宫每个数字只能填一遍（宫的概念，参看“算法实践——数独的基本解法”）
那现在就是利用这个规则把数独问题转换为精确覆盖问题，可是，直观上面的规则，发现比较难以转换为精确覆盖问题。因此，把上面的表述换个说法：
1、每个格子只能填一个数字
2、每行1-9的这9个数字都得填一遍（也就意味着每个数字只能填一遍）
3、每列1-9的这9个数字都得填一遍
4、每宫1-9的这9个数字都得填一遍
这样理解的话，数独问题转换为精确覆盖问题就相对简单多了。关键就是如何构造精确覆盖问题中的矩阵。
我们把矩阵的每个列都定义成一个约束条件：
第1列定义成：（1，1）填了一个数字
第2列定义成：（1，2）填了一个数字
……
第9列定义成：（1，9）填了一个数字
第10列定义成：（2，1）填了一个数字
……
第18列定义成：（2，9）填了一个数字
……
第81列定义成：（9，9）填了一个数字
至此，用第1-81列完成了约束条件1：每个格子只能填一个数字
第N列（1≤N≤81）定义成：（X，Y）填了一个数字。
N、X、Y之间的关系是：X=INT（（N-1）/9）+1；Y=（（N-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y
第82列定义成：在第1行填了数字1
第83列定义成：在第1行填了数字2
……
第90列定义成：在第1行填了数字9
第91列定义成：在第2行填了数字1
……
第99列定义成：在第2行填了数字9
……
第162列定义成：在第9行填了数字9
至此，用第82-162列（共81列）完成了约束条件2：每行1-9的这9个数字都得填一遍
第N列（82≤N≤162）定义成：在第X行填了数字Y。
N、X、Y之间的关系是：X=INT（（N-81-1）/9）+1；Y=（（N-81-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+81
第163列定义成：在第1列填了数字1
第164列定义成：在第1列填了数字2
……
第171列定义成：在第1列填了数字9
第172列定义成：在第2列填了数字1
……
第180列定义成：在第2列填了数字9
……
第243列定义成：在第9列填了数字9
至此，用第163-243列（共81列）完成了约束条件3：每列1-9的这9个数字都得填一遍
第N列（163≤N≤243）定义成：在第X列填了数字Y。
N、X、Y之间的关系是：X=INT（（N-162-1）/9）+1；Y=（（N-162-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+162
第244列定义成：在第1宫填了数字1
第245列定义成：在第1宫填了数字2
……
第252列定义成：在第1宫填了数字9
第253列定义成：在第2宫填了数字1
……
第261列定义成：在第2宫填了数字9
……
第324列定义成：在第9宫填了数字9
至此，用第244-324列（共81列）完成了约束条件4：每宫1-9的这9个数字都得填一遍
第N列（244≤N≤324）定义成：在第X宫填了数字Y。
N、X、Y之间的关系是：X=INT（（N-243-1）/9）+1；Y=（（N-243-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+243
至此，用了324列完成了数独的四个约束条件，矩阵的列定义完成。
那接下来，就是把数独转换为矩阵。数独问题中，每个格子分两种情况。有数字的格子、没数字的格子。
有数字的格子：
以例子来说明，在（4，2）中填的是7
把（4，2）中填的是7，解释成4个约束条件
1、在（4，2）中填了一个数字。
2、在第4行填了数字7
3、在第2列填了数字7
4、在第4宫填了数字7（坐标（X，Y）到宫N的公式为：N=INT（（X-1）/3）×3+INT（（Y-1）/3）+1）
那么这4个条件，分别转换成矩阵对应的列为
1、在（4，2）中填了一个数字。对应的列N=（4-1）×9+2=29
2、在第4行填了数字7。对应的列N=（4-1）×9+7+81=115
3、在第2列填了数字7。对应的列N=（2-1）×9+7+162=178
4、在第4宫填了数字7。对应的列N=（4-1）×9+7+243=277
于是，（4，2）中填的是7，转成矩阵的一行就是，第29、115、178、277列是1，其余列是0。把这1行插入到矩阵中去。
没数字的格子：
还是举例说明，在（5，8）中没有数字
把（5，8）中没有数字转换成
（5，8）中填的是1，转成矩阵的一行就是，第44、118、226、289列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是2，转成矩阵的一行就是，第44、119、227、290列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是3，转成矩阵的一行就是，第44、120、228、291列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是4，转成矩阵的一行就是，第44、121、229、292列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是5，转成矩阵的一行就是，第44、122、230、293列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是6，转成矩阵的一行就是，第44、123、231、294列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是7，转成矩阵的一行就是，第44、124、232、295列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是8，转成矩阵的一行就是，第44、125、233、296列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是9，转成矩阵的一行就是，第44、126、234、297列是1，其余列是0。
把这9行插入到矩阵中。由于这9行的第44列都是1（不会有其他行的44列会是1），也就是说这9行中必只有1行（有且只有1行）选中（精确覆盖问题的定义，每列只能有1个1），是最后解的一部分。这就保证了最后解在（5，8）中只有1个数字。
这样，从数独的格子依次转换成行（1行或者9行）插入到矩阵中。完成了数独问题到精确覆盖问题的转换。