数论几个简单定理的总结
定理一：（除法定理）对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一的整数q和r，满足0<=r
证明略
定理二：gcd(x,y) = d，当ax + by为正整数时有 min(ax + by) = d;
显然当gcd(x,y) = 1 时。就是ax + by = 1
证明：
设集合S为x和y的线性组合ax+by的集合，其中a,b为整数
由0 < x^2 + y^2可知S中有正整数，由最小自然数原理可知，S中存在最小正正数，设为s0，那么首先d|s0，所以d<=s0
第二，对于x，和y 的其中任意一个，如果除以s0余数是r1，r2。那么可知r1,r2也属于S.所以r1 = r2 = 0.即s0能整除x和y，所以s0为x,y的最大公约数。
定理三：lcm(a,b) = ab/gcd(a,b) 证明略
定理四：假设gcd(n,m) = d，那么a ≡ b (mod n)且 a≡b( mod m)等价于 a≡b mod( lcm(n,m));
证明略
定理五： a ≡ b (mod nm) 推出 a ≡ b (mod m) ,a ≡ b(mod n)
一、扩展欧几里得算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得
ax+by = Gcd(a, b) = d（两边除以d，得到a'x+b'y=1,a'与b'是互质的，根据上面的定理，肯定是有正数解的）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。
现在求解 ax+by=1
假设a>b，a=kb+l（l
则此方程的解x为原方程的解，y = (y' - k*x)
则上述可以证明扩展欧几里得算法的正确性
给出代码：
void exgcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y)
{
if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
else { exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b); }
} 这样就可以求出一组解x,y
假设另外一组解为x1,y1
那么a(x-x1)=b(y-y1)
两边除以gcd(a,b)
则，a'(x-x1) = b'(y-y1),其中 a'=a/gcd(a.b)，b'=b/gcd(a.b)
由于a',b'互素，x - x1 是b'的倍数，设为kb‘得（y - y1）=ka'可以 求出所有的x和y
关于ax+by=c 当c不是gcd(a,b)时无解
由上面当c为为k*gcd(a,b)时，一组解为（kx,ky）(x,y)为 ax+by=gcd(a,b)的一组解
当c不是gcd(a,b)的倍数时，显然无解，因为左边是最小公约数的 倍数，右边不是
扩展：欧几里得算法可以求多于2元的模线性方程，显然不断迭代就可以解出来了。
扩展欧几里得算法通常解决如下三种问题
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
另外两个问题可以转化成我们熟悉的方式（1）求解
求解逆元：
模P乘法逆元
对于整数a、p，如果存在整数b，满足a*b mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。
定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1
证明：
充分性：
如果gcd(a,p) = 1，根据欧拉定理，a^φ(p) ≡ 1 mod p，因此
显然aφ(p) - 1 mod p是a的模p乘法逆元。
必要性：
假设存在 a mod p的乘法逆元为b
ab ≡ 1 mod p
则ab = kp +1 ，所以1 = ab - kp
因为gcd(a,p) = d
所以d | 1
所以d只能为1
可以由1 = ab - kp求出b和k
计算a模p的乘法逆元
下面代码算出a,和b的最大公约数和a 模b的逆元ar,以及b模a的逆元br（用非递归的计算）
int gcd(int a,int b,int &ar,int &br){
int x1,x2,x3;
int y1,y2,y3;
int t1,t2,t3;
if(0 == a){//有一个数为0,就不存在乘法逆元
ar = 0;br = 0 ;
return b;
}
if(0 == b){
ar = 0;
br = 0 ;
return a;
}
x1 = 1; x2 = 0; x3 = a; y1 = 0; y2 = 1; y3 = b; int k;
for( t3 = x3 % y3 ; t3 != 0 ; t3 = x3 % y3){
k = x3 / y3;
t2 = x2 - k * y2;t1 = x1 - k * y1;
x1 = y1;
x2 = y2;
x3 = y3;
y1 = t1;
y2 = t2;
y3 = t3;
}
if( y3 == 1){//有乘法逆元
ar = y2; br = x1;
return 1;
}
else{//公约数不为1,无乘法逆元
ar = 0;br = 0;return y3;
}
}
递归计算：
bigint inv(bigint a, bigint n) {
bigint d, x, y;
Gcd(a, n, d, x, y);
if (d == 1) return ( x % n + n) % n;
else return -1;
}
二、中国剩余定理
有一个数x，除以n个模数a[0],a[1]……a[n-1]（所有模数 两两互质）后，得到n个余数r[0],r[1]……r[n-1]，求x。
先看三个方程的情况
X mod 3 = 2
X mod 5 = 3
X mod 7 = 2
构造法求解：
我们可以求k1,k2,k3
使得： k1 mod 3 = 2, k2 mod 3 = k3 mod 3 = 0
k2 mod 5 = 3, k1 mod 5 = k1 mod 5 = 0
K3 mod 7 = 2,k1 mod 7 = k2 mod 7 = 0
每个k都由独立的三个方程确定，就可以解出 k1,k2,k3了。
解k1,k1 = k*35。我们可以先解出k。
由 k * 35 mod 3 = 2可以得到不定方程
K*35 - 2 = 3*y，即：35k - 3y = 2，这个可以由扩展欧几里得算法求出。
K1,k2也可以按照同样的方法算出来。最后k1+k2+k3，就是一个答案。
一般的求解过程：
1）令p = a[0]*a[1]*……*a[n-1]，k[i]=p/a[i]
2） 我们要找到这样的数 d[i]%k[i]==0且
d[i]%a[i]==r[i]（i 从0到n-1）(这里可以用
到扩展欧几里德算法来求得d[i])
3）当求出d[0],d[1],d[2]……d[n-1]后，相加得
到w，w为其中一个解，且通解x = w + t*p (t
为任意自然数)
中国剩余定理一个条件就是模数要两两互素（条件非常苛刻），怎么求解一般的线性模方程,也就是模数不满足两两互素的情况。数论里的一般解法是分解因子，但是编程难度比较大，时间复杂度也比较高，这里采用的解法是将所有方程合并成一个方程求解。
假设有 x mod m1 = a
x mod m2 = b
Gcd(m1,m2) = d
m1 = m1’d
m2 = m2’d
那么，x = k1m1 + a ①
x = k2m2 + b
由k1m1 + a = k2m2 + b，得 k1m1’ - k2m2’ = (b - a)/d ② .所以有解的情况肯定有 d|(b - a) （这是充要条件，是判断有没有解的依据）。② 式可以用扩展欧几里得算法求出k1的一个解，我们先设为k那么k1的通解就是k + tm2’.将其代入①,得到x = t*lcm(m1,m2) + km1 + a,即 x ≡ km1 + a (mod lcm(m1,m2))这样就完成了两个式子的合并。按照此方法将所有方程合并成一个求解即可。复杂度是O(nlog(max{mi})
练习：poj 2891
三、埃拉托斯特尼筛法
// 1：这是最原始的筛法，还有待优化
#define Max 1000000
bool prime[Max];
void IsPrime(){
int t=(int)sqrt(Max*1.0);
prime[0]=prime[1]=0;prime[2]=1;
for(int i=3;i优化1：
#include
using namespace std;
const long N = 200000;
long prime[N] = {0},num_prime = 0;
int isNotPrime[N] = {1, 1};
int main()
{
for(long i = 2 ; i < N ; i ++)
{
if(! isNotPrime[i])
prime[num_prime ++]=i;
//关键处1
for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] < N ; j ++)
{
isNotPrime[i * prime[j]] = 1;
if( !(i % prime[j] ) ) //关键处2
break;
}
}
return 0;
} 首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。
不管 i 是否是素数，都会执行到“关键处1”，
①如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等
②如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数（2<=i<=n）， pi<=pj ( i<=j )
p1是最小的系数。
根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于p1的质数*i。
证明略
优化2：
易于理解。 只算奇数部分，时空效率都还不错！
half=SIZE/2;
int sn = (int) sqrt(SIZE);
for (i = 0; i < half; i++)
p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3，即p[i]对应2*i+3
for (i = 0; i < sn; i++) {
if(p[i])//如果 i+i+3 是素数
{
for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k)
// 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2
// k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i
// 下标 i k*i+k+i
//对应数值 k=i+i+3 k^2
p[j]=false;
}
}
//素数都存放在 p 数组中，p[i]=true代表 i+i+2 是素数。
//举例，3是素数，按3*3,3*5,3*7...的次序筛选，因为只保存奇数，所以不用删3*4，3*6....原始的埃拉托斯特尼筛法的渐进时间复杂度是nlnlnn，可以当做O(n)，通常情况下，它的效率已经足够。改进后的时间复杂度是均摊是O(n)。
练习：hdu 1431 poj 2689
四、欧拉函数 和欧拉定理
在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目，它又称为Euler's totient function、φ函数。
积性函数：如果gcd(n,m) = 1,有f(nm) = f(n)f(m)，则称函数f是积性的。
φ是积性的。
证明：如果(m,m’) = 1,那么当a和a’分别取遍模m和模m’的完全剩余系时，a’m + am’取遍mm’的一个完全剩余系。又因为
(a’m + am’,mm’) = 1 <------> (a’m +am’,m) = 1,(a’m+am’,m’) = 1
<------>(am’,m) = 1,(a’m,m’) = 1 <-----> (a,m) = 1,(a’,m’) = 1
从而这φ个小于mm’且与mm’互素的数是这φ（m）φ（m'）个数a’m + am’的最小正剩余，其中a与m互素，而a’与m’互素，从而有φ（mm’）=φ(m)φ(m’)
从而可以推出，其中p是素数，进而推出欧拉公式：。
欧拉函数的性质：
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:φ(N)=φ(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:φ(N)=φ(N/a)*(a-1);
当n为奇数时有
a^b ≡a^(b%phi(c) + phi(c)) (mod c) （b >= phi(c)）
求单个欧拉函数值：
Int euler(int x)
{
int i, res=x;
int m = (int)sqrt(x*1.0) + 1;
for (i = 2; i < m; i++)
if(x%i == 0) {
res = res / i * (i - 1); //先进行除法是为了防止中间数据的溢出
while (x % i == 0) x /= i; // 保证i一定是素数
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}递推求欧拉函数值：
//筛选法打欧拉函数表
#define Max 1000001
int euler[Max];
void Init(){
euler[1]=1;
for(int i=2;i欧拉定理：
n与a互质，那么
当n为素数时，a^(n - 1) ≡ 1 （mod n）,这个称为费马小定理
引入一个定理：
定理：如果a1,a2,....aphi(m)是个与m互素的完全剩余系，且(k,m) = 1，那么(ka1,ka2,.....kaphi(m))仍然是一个与m互素的完全剩余系。
证明： 首先kai与m显然互素，然后用反证法假设kai ≡ kaj (mod m) 和（k，m） = 1，可以推出ai = aj 这即证明了定理
先证明费马小定理
证：
构造素数p
的既约剩余系
因为，由引理3可得
也是p的一个既约剩余系。由既约剩余系的性质，
即
易知 ，同余式两边可约去
，得到
这样就证明了费马小定理。
模仿上面证明，我们来证明欧拉定理，同样利用构造既约剩余系来证明。
证明欧拉定理
证：
我们构造模m的一个既约剩余系xi，那么
(ax) ≡ x （mod m）
即a^phi(m) x ≡ x （mod m）
由于x与m既约，直接消去，得a^phi(m) ≡ 1 （ mod m）
其中a和m既约，即(a,m) = 1，
.QED