Josh 的复习总结之数字信号处理（Part 3——离散傅里叶变换 DFT）

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《Josh 的复习总结之数字信号处理》系列文章目录：

      Part 1——离散时间信号和系统分析基础
      Part 2——离散傅里叶级数 DFS
Part 3——离散傅里叶变换 DFT
      Part 4——快速傅里叶变换 FFT
      Part 5——部分 FFT 蝶形图
      Part 6——数字滤波器的基本结构
      Part 7——数字滤波器设计

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1. 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的定义

  取离散傅里叶级数的主值，得离散傅里叶变换
$$X\left(k\right)=X\left(k\right)R_N\left(k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)W_N^{kn},k=0,1,\cdots ,N-1$$$$x\left(n\right)=x\left(n\right)R_N\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)W_N^{-kn},n=0,1,\cdots ,N-1$$且 $X\left(k\right)=X{\left(\left(k\right)\right)}_N,x\left(n\right)=x{\left(\left(n\right)\right)}_N$。其中 $R_N\left(n\right)$ 表示矩形序列，表示取主值；${\left(\left(n\right)\right)}_N$ 表示 $n$ 对 $N$ 取余。

注：不同教材中取主值、取余的符号表述可能不同。

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2. DFT 的矩阵算法

  若令 $X={\left[\begin{array}{cccc}X\left(0\right)& X\left(1\right)& \cdots & X\left(N-1\right)\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，x={\left[\begin{array}{cccc}x\left(0\right)& x\left(1\right)& \cdots & x\left(N-1\right)\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$，则 DFT 和 IDFT 可分别表示为
$$X=D_{N}x,x=D_N^{-1}X$$其中 Vandermonde 矩阵
$$D_N=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& W_N^1& W_N^2& \cdots & W_N^{\left(N-1\right)}\\ 1& W_N^2& W_N^4& \cdots & W_N^{2\left(N-1\right)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& W_N^{\left(N-1\right)}& W_N^{2\left(N-1\right)}& \cdots & W_N^{{\left(N-1\right)}^2}\end{array}\right]$$$$D_N^{-1}=\frac{1}{N}\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& W_N^{-1}& W_N^{-2}& \cdots & W_N^{-\left(N-1\right)}\\ 1& W_N^{-2}& W_N^{-4}& \cdots & W_N^{-2\left(N-1\right)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& W_N^{-\left(N-1\right)}& W_N^{-2\left(N-1\right)}& \cdots & W_N^{-{\left(N-1\right)}^2}\end{array}\right]$$且有 $D_N^{-1}=\frac{1}{N}{D}_N^{\ast }$。

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3. 离散傅里叶变换（DFT）的性质

3.1 线性性质

$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[a{x}_1\left(n\right)+{bx}_2\left(n\right)\right]=a{X}_1\left(k\right)+b{X}_2\left(k\right)$$

3.2 用正变换计算逆变换

$$x\left(n\right)=\frac{1}{N}{\left[\sum _{k=0}^{N-1}{X}^{\ast }\left(k\right)W_N^{nk}\right]}^{\ast },n=0,1,\cdots ,N-1$$证明：
$$\frac{1}{N}{\left[\sum _{k=0}^{N-1}{X}^{\ast }\left(k\right)W_N^{nk}\right]}^{\ast }=\frac{1}{N}\left[\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)W_N^{-nk}\right]=x\left(n\right)$$

3.3 对称定理

$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[\frac{1}{N}X\left(n\right)\right]=x\left(-k\right)=x\left(N-k\right)$$证明：
$$\begin{array}{rl}& x\left(-n\right)=x\left(N-n\right)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)W_N^{-\left(N-n\right)k}=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)W_N^{nk}\\ ⟹& x\left(-k\right)=x\left(N-k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}\left[\frac{X\left(n\right)}{N}\right]W_N^{kn}=\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[\frac{X\left(n\right)}{N}\right]\end{array}$$

3.4 反转定理

$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x\left(-n\right)\right]=X\left(-k\right)$$证明：
$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x\left(-n\right)\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(-n\right)W_N^{nk}\stackrel{令m=-n}{}\sum _{m=-\left(N-1\right)}^{0}x\left(m\right)W_N^{-mk}=\sum _{m=0}^{N-1}x\left(m\right)W_N^{m\cdot \left(-k\right)}=X\left(-k\right)$$

3.5 序列的总和

$$\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)={\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)W_N^{kn}|}_{k=0}{=X\left(k\right)|}_{k=0}=X\left(0\right)$$

3.6 序列的起始值

$$x\left(0\right)=\frac{1}{N}{\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)W_N^{-kn}|}_{n=0}=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)$$

3.7 延长序列的 DFT

  将 $N$ 点长序列 $x\left(n\right)\left(n=1,2,\cdots ,N-1\right)$ 补零延长 $rN$ 点得到序列 $g\left(n\right)$，即
$$g\left(n\right)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}x(n),& n=0,1,\cdots ,N-1\\ 0,& n=N,N+1,\cdots rN-1\end{array}\end{array}$$则 $g\left(n\right)$ 的DFT
$$\begin{array}{rl}G\left(k\right)& =\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[g\left(n\right)\right]=\sum _{n=0}^{rN-1}g\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi nk}{rN}}=\sum _{n=0}^{N-1}g\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi n\left(\frac{k}{r}\right)}{N}}\\ & =X\left(\frac{k}{r}\right),k=0,1,\cdots ,rN-1\end{array}$$由此，$G\left(k\right)$ 与 $X\left(k\right)$具有相同的形状，但 $G\left(k\right)$ 的频谱间隔比 $X\left(k\right)$ 的小。即通过补零，频谱变得更加细致。但是补零不能提高频谱分辨能力。

3.8 有限长序列的圆周特性

3.8.1 圆周移位（周期化→移位→取主值）

$$x{\left(\left(n-m\right)\right)}_N{R}_N\left(n\right)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}x\left(n-m\right),& m⩽n⩽N-1\\ x\left(N-m+n\right),& 0⩽n⩽m\end{array}\end{array}$$

3.9.2 圆周反转（周期化→反转→取主值）

$$x{\left(\left(-n\right)\right)}_N{R}_N\left(n\right)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}x\left(0\right),& n=0\\ x\left(N-n\right),& 1⩽n⩽N-1\end{array}\end{array}$$

3.8.3 有限长序列的时间圆周移位定理（可以通过 DFS 证明）

$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x{\left(\left(n+m\right)\right)}_N{R}_N\left(n\right)\right]=W_N^{-mk}X\left(k\right)$$由此，有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。

3.8.4 限长序列的频率圆周移位定理（调制特性，可以通过 DFS 证明）

$$\mathrm{I}\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[X{\left(\left(k+l\right)\right)}_N{R}_N\left(k\right)\right]=W_N^{nl}x\left(n\right)=e^{-j\frac{2\pi }{N}nl}x\left(n\right)$$由此，时域序列的调制等效于频域的圆周移位，且可以推得
$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x\left(n\right)\cos \left(\frac{2\pi nl}{N}\right)\right]=\frac{1}{2}\left[X{\left(\left(k-l\right)\right)}_N+X{\left(\left(k+l\right)\right)}_N\right]R_N\left(k\right)$$$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x\left(n\right)\sin \left(\frac{2\pi nl}{N}\right)\right]=\frac{1}{2}\left[X{\left(\left(k-l\right)\right)}_N-X{\left(\left(k+l\right)\right)}_N\right]R_N\left(k\right)$$

3.8.5 DFT的圆周对称性

3.8.5.1 奇序列和偶序列的 DFT

奇序列的 DFT
$$x\left(n\right)=-x\left(-n\right)=-x{\left(\left(-n\right)\right)}_N{R}_N\left(n\right)\to X\left(k\right)=-X\left(-k\right)=-X{\left(\left(N-k\right)\right)}_N{R}_N\left(k\right)$$偶序列的 DFT
$$x\left(n\right)=x\left(-n\right)=x{\left(\left(-n\right)\right)}_N{R}_N\left(n\right)\to X\left(k\right)=X\left(-k\right)=X{\left(\left(N-k\right)\right)}_N{R}_N\left(k\right)$$

3.8.5.2 序列的对称分解

  普通序列 $x\left(n\right)$ 的共轭对称分量和共轭反对称分量分别为
$$x_e\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^{\ast }\left(-n\right)\right],x_o\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)-x^{\ast }\left(-n\right)\right]$$对有限长序列的 DFT 进行分析时，定义周期共轭对称分量和周期共轭反对称分量分别为
$$x_{ep}\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x{\left(\left(n\right)\right)}_N+x^{\ast }{\left(\left(-n\right)\right)}_N\right]R_N\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^{\ast }\left(N-n\right)\right]$$$$x_{op}\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x{\left(\left(n\right)\right)}_N-x^{\ast }{\left(\left(-n\right)\right)}_N\right]R_N\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)-x^{\ast }\left(N-n\right)\right]$$二者关系为
$$x_{ep}\left(n\right)=\left[x_e\left(n\right)+x_e\left(n-N\right)\right]R_N\left(n\right),x_{op}\left(n\right)=\left[x_o\left(n\right)+x_o\left(n-N\right)\right]R_N\left(n\right)$$

3.8.5.3 共轭复序列的 DFT

$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x^{\ast }\left(n\right)\right]=X^{\ast }{\left(\left(N-k\right)\right)}_N$$$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x^{\ast }\left(-n\right)\right]=X^{\ast }\left(k\right)$$证明：
$$\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x^{\ast }\left(n\right)\right]=\sum _{n=0}^{N-1}{x}^{\ast }\left(n\right)W_N^{kn}={\left[\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)W_N^{-kn}\right]}^{\ast }=X^{\ast }\left(-k\right)=X^{\ast }{\left(\left(N-k\right)\right)}_N$$$$\begin{array}{rl}\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x^{\ast }\left(-n\right)\right]& =\sum _{n=0}^{N-1}{x}^{\ast }\left(-n\right)W_N^{kn}={\left[\sum _{n=0}^{N-1}x\left(-n\right)W_N^{-kn}\right]}^{\ast }\\ & ={\left[\sum _{m=-N+1}^{0}x\left(m\right)W_N^{km}\right]}^{\ast }={\left[\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)W_N^{kn}\right]}^{\ast }=X^{\ast }\left(k\right)\end{array}$$

3.8.5.4 复数序列的 DFT

$$x\left(n\right)=x_r\left(n\right)+j{x}_i\left(n\right)$$$$\updownarrow \updownarrow$$$$X\left(k\right)=X_{ep}\left(k\right)+X_{op}\left(k\right)$$证明：
$$X_{ep}\left(k\right)=\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x_r\left(n\right)\right]=\frac{1}{2}\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x\left(n\right)+x^{\ast }\left(n\right)\right]=\frac{1}{2}\left[X\left(k\right)+X^{\ast }\left(N-k\right)\right]$$$$X_{op}\left(k\right)=\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[{jx}_i\left(n\right)\right]=\frac{1}{2}\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x\left(n\right)-x^{\ast }\left(n\right)\right]=\frac{1}{2}\left[X\left(k\right)+X^{\ast }\left(N-k\right)\right]$$且由 3.8.5.3 共轭复序列的 DFT 可推知
$$X_{ep}\left(k\right)=X_{ep}^{\ast }\left(N-k\right)(实部相等，虚部相反)$$$$X_{op}\left(k\right)=-X_{op}^{\ast }\left(N-k\right)(实部相反，虚部相等)$$

3.8.5.5 DFT 的奇偶虚实特性

$x(n)$	$X(k)$
偶	偶
奇	奇
实	实部为偶，虚部为奇
虚	实部为奇，虚部为偶
实偶	实偶
实奇	虚奇
虚偶	虚偶
虚奇	实奇

3.8.6 圆周卷积定理

注：此处用 $\odot$ 表示圆周卷积，不同教材中圆周卷积的符号表述可能不同。

3.8.6.1 时域圆周卷积定理

$$\begin{array}{rl}x\left(n\right)=x_1\left(n\right)\odot x_2\left(n\right)& =y\left(n\right)=\sum _{m=0}^{N-1}{x}_1\left(m\right)\left[x_2{\left(\left(n-m\right)\right)}_N{R}_N\left(n\right)\right]\\ & =\mathrm{I}\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[X_1\left(k\right)\cdot X_2\left(k\right)\right]\end{array}$$

3.8.6.2 频域圆周卷积定理

$$\begin{array}{rl}X\left(k\right)=X_1\left(k\right)\odot X_2\left(k\right)& =X\left(k\right)R_N\left(k\right)=\frac{1}{N}\sum _{l=0}^{N-1}{X}_1\left(l\right)\left[X_2{\left(\left(k-l\right)\right)}_N{R}_N\left(k\right)\right]\\ & =\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[x_1\left(n\right)\cdot x_2\left(n\right)\right]\end{array}$$

3.8.6.3 圆周卷积和线性卷积的关系

  长度为 $L$ 的序列 $x_1\left(n\right)$ 和长度为 $M$ 的序列 $x_2\left(n\right)$ 的周期卷积是二者的线性卷积的以 $N$ 为周期的周期延拓，若满足
$$N⩾L+M-1$$则周期卷积的主值序列即圆周卷积与线性卷积完全相同，即 $x_1\left(n\right)\odot x_2\left(n\right)=x_1\left(n\right)\ast x_2\left(n\right)$

3.8.6.4 圆周卷积的矩阵算法

$$y=h\odot x={\left[\begin{array}{cccccc}{h}_1& 0& \cdots & 0& h_m& \cdots \\ h_2& h_1& \cdots & 0& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& \cdots \\ h_m& h_{m-1}& \cdots & 0& 0& \cdots \\ 0& h_m& \cdots & h_1& 0& \cdots \\ 0& 0& & ⋮& h_1& \cdots \\ ⋮& ⋮& & h_{m-1}& ⋮& \cdots \\ 0& 0& \cdots & h_m& h_{m-1}& \cdots \end{array}\right]}_{N\times N}\cdot {\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]}_{N\times 1}$$也可先计算线性卷积以 $N$ 为周期进行周期化后取主值得到圆周卷积。注意周期化时 $N<m+n-1$ 的情况，此时会出现重叠，重叠部分相加后才是圆周卷积的结果。

3.8.7 重叠相加法和重叠保留法

例 已知序列
$$x\left(n\right)=\left\{2,-3,4,5,-6,7,8,-9,-10,11,-12,-13,-14\right\}\left(0⩽n⩽12\right)$$$$h\left(n\right)=\left\{1,-2,-3\right\}(0⩽n⩽2)$$  试分别用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积，取分段长度 $L=5$。

解：①重叠相加法
   将长序列 $x\left(n\right)$ 分段，每段长度为 $5$
$$\begin{array}{rl}& x_1\left(n\right)=\left\{2,-3,4,5,-6\right\}\\ & x_2\left(n\right)=\left\{7,8,-9,-10,11\right\}\\ & x_3\left(n\right)=\left\{-12,-13,-14\right\}\end{array}$$   用圆周卷积计算计算各段与 $h\left(n\right)$ 的线性卷积，下划线标注部分是需要重叠相加的部分
$$\begin{array}{rl}& y_1\left(n\right)=\left\{2,-7,4,6,-28,\underline{-3,18}\right\}\\ & y_2\left(n\right)=\left\{\underline{7,-6},-46,-16,58,\underline{8,-33}\right\}\\ & y_3\left(n\right)=\left\{\underline{-12,11},48,67,42\right\}\end{array}$$   将各段结果重叠相加，连接成线性卷积结果
$$y\left(n\right)=\left\{2,-7,4,6,-28,4,12,-46,-16,58,-4,-22,48,67,42\right\}$$
  ②重叠保留法
   将长序列 $x\left(n\right)$ 分段，每段长度为 $5$
$$\begin{array}{rl}& x_1\left(n\right)=\left\{\underline{0,0,2},-3,4\right\}\\ & x_2\left(n\right)=\left\{\underline{-3,4},5,-6,7\right\}\\ & x_3\left(n\right)=\left\{\underline{-6,-7},8,-9,-10\right\}\\ & x_4\left(n\right)=\left\{\underline{-9,-10},11,-12,-13\right\}\\ & x_5\left(n\right)=\left\{\underline{-12,-13},-14,0,0\right\}\end{array}$$   用圆周卷积计算计算各段与 $h\left(n\right)$ 的线性卷积，下划线标注部分是需要舍去的部分
$$\begin{array}{rl}& y_1\left(n\right)=\left\{\underline{1,-12},2,-7,4\right\}\\ & y_2\left(n\right)=\left\{\underline{1,-11},6,28,4\right\}\\ & y_3\left(n\right)=\left\{\underline{41,49},12,-46,-16\right\}\\ & y_4\left(n\right)=\left\{\underline{53,47},58,-4,-22\right\}\\ & y_5\left(n\right)=\left\{\underline{-12,11},48,67,42\right\}\end{array}$$   将各段重叠部分舍去，连接成线性卷积结果
$$y\left(n\right)=\left\{2,-7,4,6,-28,4,12,-46,-16,58,-4,-22,48,67,42\right\}$$

3.9 Parseval 定理（能量守恒）

$$\sum _{n=0}^{N-1}{x}^2\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{\left|X\left(k\right)\right|}^2$$

3.10 DFT 与 $z$ 变换

$$\begin{array}{rl}X\left(k\right)& =\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)W_N^{nk}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi }{N}nk}={\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)z^{-n}|}_{z=e^{j\frac{2\pi }{N}k}}\\ & ={X\left(z\right)|}_{z=e^{j\frac{2\pi }{N}k}}={\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-j\omega n}|}_{\omega =\frac{2\pi }{N}k}\left(k=0,1,\cdots ,N-1\right)\end{array}$$因此 $x\left(n\right)$ 的 DFT 的 $N$ 个系数即为 $x\left(n\right)$ 的 $z$ 变换 $X\left(z\right)$ 在单位圆上 $N$ 等分的取样点。

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4. 频域取样的点数限制

  设 $M$ 点序列 $x\left(n\right)$ 的 $z$ 变换为 $X\left(z\right)$，DTFT 为 $X\left(e^{j\omega }\right)$，则有

在 $X\left(z\right)$ 的单位圆上均匀采样 $N$ 点，其 IDFT 是序列 $x\left(n\right)$ 以周期 $N$ 进行周期延拓后的主值序列；
在 $X\left(e^{j\omega }\right)$ 的一个周期内均匀采样 $N$ 点，其 IDFT 是序列 $x\left(n\right)$ 以周期 $N$ 进行周期延拓后的主值序列；
在 $X\left(e^{j\omega }\right)$ 的一个周期内均匀采样 $M$ 点，其 IDFT 是序列 $x\left(n\right)$ 本身。

由此，对于列长为M的有限长序列 $x\left(n\right)$，频域取样不失真的条件是取样点数 $N$ 满足
$$N⩾M$$并且对于无限长序列 $x\left(n\right)$，无论 $N$ 取值如何，都不可能消除混叠，只能随着取样点 $N$ 增加而接近 $x\left(n\right)$。

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5. 内插公式

  用 DFT 表示 ZT
$$\begin{array}{rl}X\left(z\right)& =\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)z^{-n}=\sum _{n=0}^{N-1}\left[\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)W_N^{-nk}\right]z^{-n}=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\left[X\left(k\right)\sum _{n=0}^{N-1}{\left(W_N^{-k}{z}^{-1}\right)}^n\right]\\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)\frac{1-W_N^{-kn}{z}^{-N}}{1-W_N^{-k}{z}^{-1}}=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)\frac{1-z^{-N}}{1-W_N^{-k}{z}^{-1}}\\ & =\frac{1-z^{-N}}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\frac{X\left(k\right)}{1-W_N^{-k}{z}^{-1}}=\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right){\phi }_k\left(z\right)\end{array}$$其中 $X\left(z\right)$ 的内插公式
$${\phi }_k\left(z\right)=\frac{1}{N}\cdot \frac{1-z^{-N}}{1-W_N^{-k}{z}^{-1}}$$  用 DFT 表示 DTFT
$$X\left(e^{j\omega }\right)={X\left(z\right)|}_{z=e^{j\omega }}=\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right){\phi }_k\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)\phi \left(\omega -k\frac{2\pi }{N}\right)$$其中内插函数
$$\phi \left(\omega \right)=\frac{1}{N}\frac{\sin \left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\omega }{2}\right)}{e}^{-j\omega \left(\frac{N-1}{2}\right)}$$时域取样定理说明，对频域带限的信号，可对其进行时域取样而不丢失任何信息。频域取样理论说明，时间有限的信号（有限长序列），也可对其进行频域取样（DFT）而不丢失任何信息。

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6. 用 DFT 对连续时间信号逼近的问题

6.1 混叠现象

  时域采样会引起频谱周期化，通过 $f_s⩾2f_h$ 消除。

6.2 频谱泄露现象

  取用有限个数据，即将信号截断的过程，等同于将信号乘以窗函数。如果窗函数是矩形窗，在时域内将信号截断相当于乘以矩形窗，而在频域中则相当于原信号的频谱与矩形窗的频谱卷积，使得原信号的频谱被展宽，造成频谱泄露。通常通过选择频谱特性更接近于 $\delta \left(k\right)$ 的函数来减少频谱泄露。

6.3 栅栏效应

  用 DFT 计算频谱时，采样点为基频的整数倍，由此观察到的频谱特征时有限的，若在两个取样点之间有剧烈的频谱变化，将无法检测出来。通常通过在原序列的末端添加一些零值点来改变周期内的点数，从而在保持原有频谱连续形式不变的情况下，变更了谱线的位置，原来看不到的频谱分量就能移动到可见的位置上。

6.4 DFT 参数的选择

6.4.1 取样频率 $f_s$（由取样定理）

$$f_s⩾2f_h$$

6.4.2 取样周期 $T$

$$T=\frac{1}{f_s}⩽\frac{1}{2f_h}$$

6.4.3 频率分辨率（频率分量间的增量）$F$

$$F=\frac{f_s}{N}$$ $F$ 越小，频率分辨率越高。

6.4.4 最小记录长度（周期性函数的有效周期）$t_p$

$$t_p=\frac{1}{F}=NT$$

6.4.5 一个记录长度内的点数 $N$

$$N⩾\frac{2f_h}{F}$$

注：最高频率 $f_h$ 和频率分辨率 $F$ 存在矛盾，即
$$f_h\uparrow \stackrel{f_s⩾2f_h}{}{f}_s\uparrow \stackrel{T=\frac{1}{f_s}}{}T\uparrow \stackrel{N\text{给定时}}{}{t}_p\downarrow ⟶F\uparrow \left(\text{频率分辨率}\downarrow \right)$$

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