本文是【专题“DeepLearning学习笔记”】的第【2】篇
上一篇：【DL笔记1】Logistic回归：最基本的神经网络
一、神经网络中的编程指导原则
就一句话：
只要阔能，就不要使用显示for循环（explicit for-loop），而是尽可能采用矢量化技术（Vectorization）
为啥呢，因为深度学习中的数据量往往巨大，用for循环去跑的话效率会非常低下，相比之下，矩阵运算就会快得多。而python的矩阵“传播机制（broadcasting）”和专门用于矩阵计算的numpy包更是给了我们使用矩阵运算的理由。
因此，我们在面对深度学习问题的时候，首先要想一想，如何把数据进行“矢量化”，就是转化成向量或者矩阵，这样可以大大提高我们的效率。
有关python的传播机制、numpy的典型使用以及for-loop和vectorization运算时间的对比，可以参见我的另一篇文章：
Python的矩阵传播机制&矩阵运算
具体怎么把我们的数据进行Vectorization呢？我们在Logistic regression的python实现里面去看一看：
二、Logistic regression算法
在写python代码之前，我们先用伪代码来示意一下Logistic regression的过程。
首先回顾一下上一篇文章中对Logistic regression模型的学习和预测的步骤：
- 初始化W和b
- 指定learning rate和迭代次数
- 每次迭代，根据当前W和b计算对应的梯度（J对W，b的偏导数），然后更新W和b
- 迭代结束，学得W和b，带入模型进行预测，分别测试在训练集合测试集上的准确率，从而评价模型
假设我们的样本数为m，每一个样本的特征数为n，我们设置的迭代次数为2000，那么按照上述步骤，如果使用for循环的话，我们需要几个for，总循环多少次呢？
①初始化：
J=0 (这是cost), w_{1},...,w_{n}=0, dw_{1},...,dw_{n}=0(J对w的偏导，即梯度)，b=0
②一次迭代：
For i = 1 to m:
{
z^{(i)}=W^{T}x^{(i)}+b
（行向量乘以列向量，就是个数了）
a^{(i)}=\sigma(z^{(i)})
（a就是上一篇文章中的y'，就是经过Activation之后的值）
J+=-[y^{(i)}loga^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-a^{(i)})]
(注意这里的+=，说明是个累加，就是要累加每一个样本的loss，最后还要除以 m，就是代价cost)
dz^{(i)}=a^{(i)}-y^{(i)}
For j = 1 to n:
{
dw_{j}+=x_{j}^{(i)}dz^{(i)}
db+=dz^{(i)}
}
(这里一样，都是累加，因为要遍历完m个样本，然后求平均梯度，再更新)
}
③计算平均梯度，并更新：
J/=m,dw_{j}/=m,db/=m
w_j:=w_j-\alpha dw_j
b:=b-\alpha db
更新完之后别忘了，这只是一次迭代，接着把上面过程重复2000次！
费了我半天打上面这些公式结果看上去还是跟dog shit一样。。。心累啊(╥╯^╰╥)
【刚刚突然发现，电脑端的可以正常显示公式，手机端就不可以了！
这些个平台真的让无力吐槽了，写作体验大打折扣！我又不舍得删掉上面的辛苦打的公式，因此我在下面粘贴一下上面的公式的图片吧：】
简单看一下：
for iteration=1 to 2000: #梯度下降2000次迭代
for i=1 to m: # 遍历m个样本
for j=1 to n # 求每一个特征对应的w的梯度
3个for循环啊！共循环2000×m×n次！通常情况下，m至少也有大几千吧，特征n更是成千上万，尤其是对于图片识别类的问题。这样for下去简直阔怕！
事实上，我们可以通过Vectorization来消除第二个和第三个for循环，因为一个样本的n个特征可以组成一个向量，m个样本也可以组成一个大矩阵。于是：
可以设：
X = [x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}]_{m\times n}
其中 x^{(i)}是一个列向量：
x^{(i)}=[x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},...,x_{n}^{(i)}]^{T}，包含了n个特征。
对应的，n个权重也可以定义成一个列向量：
W=[w_{1},...,w_{n}]^{T}
于是，我们将上面的算法都转换成矩阵或者向量：
Z=[z^{(1)},...,z^{(m)}]=W^{T}X+[b,...,b]=np.dot(W^{T},X)+b
A=[a^{(1)},...,a^{(m)}]=\sigma(Z), Y=[y^{(1)},...,y^{(m)}]
dZ=[dz^{(1)},...,dz^{(m)}]=A-Y
dW=\frac{1}{m}XdZ^{T}=\frac{1}{m}np.dot(X,dZ.T)
db=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{dz^{(i)}}=\frac{1}{m}np.sum(dZ)
W:=W-\alpha dW
b:=b-\alpha db
（上面出现的np.dot()是numpy包的矩阵乘法，就是点乘，np.sum()就是numpy的矩阵求和）
【上面的公式如果是乱的话，请看下面的图片版：再次骂#@%￥……】
搞定，一次迭代中，一个for也没有用。（当然，这个迭代的for循环我们没法消除，因为迭代次数是我们人为设定的，这里设为2000次，也可以设为1500次、3000次等等）
（写这样的全都是公式的文章真的好累啊！(╬￣皿￣)）
上面就是Logistic regression的算法了，
我们总结一下：
所谓的Vectorization，就是把我们需要用for-loop来对那些只有上标或者下标变化的变量，放进一个向量或者矩阵中，让他们所有变量同时计算！
因此，Logistic regression算法向量化的过程，就是：
- 把m个样本，同时计算，同时算出它们的z^{(i)},也就是直接算Z这个m维行向量
- 同时把Z的m维都激活，得到m维行向量A
- 得到A和Z之后，就可以直接计算J对Z的梯度dZ了，得到dZ之后，也就可以直接算出W和b的梯度了
- 同时更新所有的w^{(i)}和b
下一篇会用python详细地实现一下,并记录一些其中编程的要点。
有任何疑问，欢迎留言交流！也希望大家监督我写完“DeepLearning学习笔记”这个专题！