(3) 李航《统计学习方法》基于Python实现——K近邻法
1:概念
- k近邻是一种基本分类与回归方法。本文只讨论分类问题中的k近邻法。k近邻法的输入为实例的特征向量，对应于特征空间的点；输出为实例的类别，可以取多类。k近邻法假设给定一个训练数据集，其中的实例类别已定。分类时，对新的实例，根据其k个最近邻的训练实例的类别，通过多数表决等方式进行预测。因此k近邻法不具有显式的学习过程。k近邻法实际上利用训练数据集对特征向量空间进行划分，并作为其分类的“模型”。
- k值的选择，举例度量和分类决策规则是k近邻算法的三个基本要素。
2:k近邻模型
2.1:模型
- k近邻法中，当训练数据、距离度量（如欧氏距离）、k值及分类决策规则（如多数表决）确定后，对于任何一个新的输入实例，它所属类别唯一的确定。这相当于根据上述要素将特征空间划分为一些子空间，确定子空间里面的每个点所属的类
- 特征空间中，对每个训练实例点 x i x_{i} xi，距离该点比其他点更近的所有点组成的一个区域，叫做单元（cell），每个训练实例点拥有一个单元，所有训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分。最近邻法将实例 x i x_{i} xi的类 y i y_{i} yi作为其单元中所有点的类标记。这样，每个单元的实例点的类别是确定的。
2.2:距离度量
- 特征空间中两个实例点的距离度量是两个实力点相似程度的反映。k近邻模型的特征空间一般是n维实数向量空间 R n \mathbf{R}^{n} Rn，使用的距离度量是欧氏距离，但也可以是其他距离，如更一般的 L p L_{p} Lp距离，或者Minkowski距离。
设特征空间 X \mathcal{X} X是 n n n维实数向量空间 R n \mathbf{R}^{n} Rn， x i , x j ∈ X , x i = ( x i ( 1 ) , x i ( 2 ) , ⋯ , x i ( n ) ) ⊤ x_{i}, x_{j} \in \mathcal{X}, \quad x_{i}=\left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, \cdots, x_{i}^{(n)}\right)^{\top} xi,xj∈X,xi=(xi(1),xi(2),⋯,xi(n))⊤， x j = ( x j ( 1 ) , x j ( 2 ) , ⋯ , x j ( n ) ) T , x i , x j x_{j}=\left(x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, \cdots, x_{j}^{(n)}\right)^{\mathrm{T}}, \quad x_{i}, x_{j} xj=(xj(1),xj(2),⋯,xj(n))T,xi,xj的 L p L_{p} Lp距离定义为： L p ( x i , x j ) = ( ∑ l = 1 n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ p ) 1 p L_{p}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} Lp(xi,xj)=(∑l=1n∣∣∣xi(l)−xj(l)∣∣∣p)p1。
这里， p ⩾ 1 p \geqslant 1 p⩾1，当 p = 2 p=2 p=2时，称为欧式距离，即
L 2 ( x i , x j ) = ( ∑ l = 1 n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ 2 ) 1 2 L_{2}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} L2(xi,xj)=(∑l=1n∣∣∣xi(l)−xj(l)∣∣∣2)21
当 p = 1 p=1 p=1时，称为曼哈顿距离，即
L 1 ( x i , x j ) = ∑ l = 1 n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ L_{1}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right| L1(xi,xj)=∑l=1n∣∣∣xi(l)−xj(l)∣∣∣
当 p = ∞ p=\infty p=∞时，它是各个坐标距离的最大值，即
L ∞ ( x i , x j ) = max l ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ L_{\infty}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\max _{l}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right| L∞(xi,xj)=maxl∣∣∣xi(l)−xj(l)∣∣∣
3:Python代码实现
3.1 导入数据集
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter
# data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
# data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
3.2 数据集切分
data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)
3.3 实现KNN
class KNN:
def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):
"""
parameter: n_neighbors 临近点个数
parameter: p 距离度量
"""
self.n = n_neighbors
self.p = p
self.X_train = X_train
self.y_train = y_train
def predict(self, X):
# 取出n个点
knn_list = []
for i in range(self.n):
dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
knn_list.append((dist, self.y_train[i]))
for i in range(self.n, len(self.X_train)):
max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0]))
dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
if knn_list[max_index][0] > dist:
knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])
# 统计
knn = [k[-1] for k in knn_list]
count_pairs = Counter(knn)
max_count = sorted(count_pairs, key=lambda x:x)[-1]
return max_count
def score(self, X_test, y_test):
right_count = 0
n = 10
for X, y in zip(X_test, y_test):
label = self.predict(X)
if label == y:
right_count += 1
return right_count / len(X_test)
clf = KNN(X_train, y_train)
clf.score(X_test, y_test)
test_point = [6.0, 3.0]
print('Test Point: {}'.format(clf.predict(test_point)))
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
分类结果：
4:构造kd树实现
# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下
class KdNode(object):
def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
self.dom_elt = dom_elt # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
self.split = split # 整数（进行分割维度的序号）
self.left = left # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
self.right = right # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree
class KdTree(object):
def __init__(self, data):
k = len(data[0]) # 数据维度
def CreateNode(split, data_set): # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
if not data_set: # 数据集为空
return None
# key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
# operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象中的序号
#data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
data_set.sort(key=lambda x: x[split])
split_pos = len(data_set) // 2 # //为Python中的整数除法
median = data_set[split_pos] # 中位数分割点
split_next = (split + 1) % k # cycle coordinates
# 递归的创建kd树
return KdNode(median, split,
CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]), # 创建左子树
CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:])) # 创建右子树
self.root = CreateNode(0, data) # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点
# KDTree的前序遍历
def preorder(root):
print (root.dom_elt)
if root.left: # 节点不为空
preorder(root.left)
if root.right:
preorder(root.right)
# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple
# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple", "nearest_point nearest_dist nodes_visited")
def find_nearest(tree, point):
k = len(point) # 数据维度
def travel(kd_node, target, max_dist):
if kd_node is None:
return result([0] * k, float("inf"), 0) # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷
nodes_visited = 1
s = kd_node.split # 进行分割的维度
pivot = kd_node.dom_elt # 进行分割的“轴”
if target[s] <= pivot[s]: # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
nearer_node = kd_node.left # 下一个访问节点为左子树根节点
further_node = kd_node.right # 同时记录下右子树
else: # 目标离右子树更近
nearer_node = kd_node.right # 下一个访问节点为右子树根节点
further_node = kd_node.left
temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist) # 进行遍历找到包含目标点的区域
nearest = temp1.nearest_point # 以此叶结点作为“当前最近点”
dist = temp1.nearest_dist # 更新最近距离
nodes_visited += temp1.nodes_visited
if dist < max_dist:
max_dist = dist # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内
temp_dist = abs(pivot[s] - target[s]) # 第s维上目标点与分割超平面的距离
if max_dist < temp_dist: # 判断超球体是否与超平面相交
return result(nearest, dist, nodes_visited) # 不相交则可以直接返回，不用继续判断
#----------------------------------------------------------------------
# 计算目标点与分割点的欧氏距离
temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2) ** 2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))
if temp_dist < dist: # 如果“更近”
nearest = pivot # 更新最近点
dist = temp_dist # 更新最近距离
max_dist = dist # 更新超球体半径
# 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
temp2 = travel(further_node, target, max_dist)
nodes_visited += temp2.nodes_visited
if temp2.nearest_dist < dist: # 如果另一个子结点内存在更近距离
nearest = temp2.nearest_point # 更新最近点
dist = temp2.nearest_dist # 更新最近距离
return result(nearest, dist, nodes_visited)
return travel(tree.root, point, float("inf")) # 从根节点开始递归
测试
data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)
from time import clock
from random import random
# 产生一个k维随机向量，每维分量值在0~1之间
def random_point(k):
return [random() for _ in range(k)]
# 产生n个k维随机向量
def random_points(k, n):
return [random_point(k) for _ in range(n)]
ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)
N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N)) # 构建包含四十万个3维空间样本点的kd树
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8]) # 四十万个样本点中寻找离目标最近的点
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")
print (ret2)
运行结果：
