除法取模和逆元

对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

如果a|b，想要求a/b%m,a和b非常大除法不容易求，

下面是四种求逆元的方法：

1、如果m为素数，可以根据费马小定理:

{a是不能被质数m整除的正整数，则有a^(m-1) ≡ 1 (mod m) }

得到逆元为 。

推理：

在求a/b%m时，因为b^(m-1)% m = 1,

（A/B）%m=(A/B)*(B^(m-1))%m

=(A* B^(m-2))%m

求(a*b^(m-2))%m即可。

代码：

ll quickmod(ll a,ll b,ll mod){
	ll ans = 1;
	while(b){
		if(b & 1)
			ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
ans = a % mod * quickmod(b,mod-2,mod) % mod;

2、当a和m互质时，可以用拓展欧几里德定理求。

求a/b%m，先求出b的逆元c：

b*c%m=1，所以b*c + m*y = 1,用拓展欧几里德解方程exgcd(b, m, c, y)求出c即可。

然后a/b%m = a/b%m*(b*c%m)=a*c%m

代码：

exgcd(b, m, c, y);
ans = a % mod * (c % mod) %mod;

（其中c求出来可能是个负值，这样的话还需要ans = (ans + mod） % mod）

例题（HDU1576）：

代码：

#include 
typedef long long ll;
#define mod 9973
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
	ll t, d;
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	d = exgcd(b, a%b, x, y);
	t = x;
	x = y; 
	y = t - a/b*y;
	return d;
}
int main(){
	int t;
	ll a, b, x, y;
	scanf("%d", &t);
	while(t--){
		scanf("%lld%lld", &a, &b);
		ll d = exgcd(b, mod, x, y);
		ll ans = (a * x % mod + mod) % mod;
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

3、用费马小定理和拓展欧几里德求a对于m的逆元时都需要a和m互质，实际上我们还有一种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

 

          

 

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

 

          

参考：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787

4、线性时间求所有逆元

当m是个质数的时候有
inv(a) = (m - m / a) * inv(m % a) % m

证明：

设x = m % a,y = m / a
于是有 x + y * a = m
(x + y * a) % m = 0
移项得 x % m = (-y) * a % m
x * inv(a) % m = (-y) % m
inv(a) = (m - y) * inv(x) % m
于是 inv(a) = (m - m / a) * inv(m % a) % m

代码：

int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i++)
    inv[i] = (m - m / i) % m * inv[m % i];