拉格朗日（Lagrange）插值
线性插值
问题5.1 给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？
过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。如图5.1所示。
图5.1 线性插值函数
在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。
下面先用待定系数法构造插值直线。
设直线方程为，将分别代入直线方程得：
当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。
当时，若用两点式表示这条直线，则有：
（5.1）
这种形式称为拉格朗日插值多项式。
，，称为插值基函数，计算，的值，易见
（5.2）
在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。
拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。
线性插值误差
定理5.1 记为以为插值点的插值函数，。这里，设 一阶连续可导， 在上存在，则对任意给定的，至少存在一点 ，使
（5.3）
证明 令，因是的根，所以可设
对任何一个固定的点，引进辅助函数：
则。
由定义可得，这样至少有3个零点，不失一般性，假定，分别在和上应用洛尔定理，可知在每个区间至少存在一个零点，不妨记为和，即和，对在上应用洛尔定理，得到在上至少有一个零点，。
现在对求二次导数，其中的线性函数)，故有
代入，得
所以
即
5.2.2 二次插值
问题5.2 给定三个插值点 ，,其中互不相等，怎样构造函数的二次的（抛物线）插值多项式？
平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。
图5.2 三个插值点的二次插值
仿造线性插值的拉格朗日插值，即用插值基函数的方法构造插值多项式。设
每个基函数是一个二次函数，对来说，要求是它的零点，因此可设
同理，也相对应的形式，得
将代入，得
同理将代入得到和的值，以及和的表达式。
也容易验证：
插值基函数仍然满足：
二次插值函数误差：
上式证明完全类似于线性插值误差的证明，故省略。
插值作为函数逼近方法，常用来作函数的近似计算。当计算点落在插值点区间之内时叫做内插，否则叫做外插。内插的效果一般优于外插。
例5.1 给定。构造线性插值函数并用插值函数计算和
解：构造线性插值函数：
分别将代入上式，得
，准确值
，准确值
例5.2 给定。构造二次插值函数并计算。
解：
，准确值
例5.3 要制做三角函数的函数 值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试决定其最大允许步长。
解：设最大允许步长
5.2.3 次拉格朗日插值多项式
问题5.3 给定平面上两个互不相同的插值点 ，有且仅有一条通过这两点的直线；给定平面上三个互不相同的插值点，有且仅有一条通过这三个点的二次曲线；给定平面上个互不相同的插值点，互不相同是指互不相等，是否有且仅有一条不高于次的插值多项式曲线，如果曲线存在，那么如何简单地作出这条次插值多项式曲线？
分析：次多项式，它完全由个系数决定。若曲线通过给定平面上个互不相同的插值点，则应满足，事实上一个插值点就是一个插值条件。
将依次代入中得到线性方程组：
（5.4）
方程组的系数行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：
当互异时，，所以方程组（5.4）的解存在且惟一。即问题5.3的解存在而且惟一。
通过求解（5.4）得到插值多项式 ，因其计算量太大而不可取，仿照线性以及二次插值多项式的拉格朗日形式，我们可构造次拉格朗日插值多项式。
对于个互不相同的插值节点，由次插值多项式的惟一性，可对每个插值节点作出相应的次插值基函数。
要求是，的零点，因此可设
由将代入，得到
（5.5）
作其组合：
（5.6）
那么不高于次且满足，故就是关于插值点的插值多项式，这种插值形式称为拉格朗日插值多项式。称为关于节点的拉格朗日基函数。
例5.4 给出下列插值节点数据，做三次拉格朗日插值多项式，并计算（0.6）。
| -2.00 |
0.00 |
1.00 |
2.00 |
|
| 17.00 |
1.00 |
2.00 |
17.00 |
解：拉格朗日插值基函数为：
三次拉格朗日插值多项式：
n次插值多项式的误差
定理5.2 设是上过的次插值多项式，互不相等，当时，则插值多项式的误差：
其中 (5.7)
证明*：记。由于，因而是的根，于是可设
下面的目标是算出，为此引入变量为的函数：
（5.8）
令，得
令，由定义即至少有个零点，由于，由洛尔定理，在相邻的两个零点之间至少有一个零点，即至少有个零点。同理再对应用洛尔定理，即至少有个零点，反复应用洛尔定理得到至少有一个零点。
另一方面，对求阶导数，有
令，有
得到
（5.9）
由于的零点与的零点有关，因而为的函数。
若|可表示为
（5.10）
由（5.9）式可以看到，当 是不高于次的多项式时，，即。
对于函数，关于节点的拉格朗日插值多项式就是其本身，故拉格朗日基函数满足
令，得到。
定理5.2给出了当被插函数充分光滑时的插值误差或称插值余项表达式，但是，在实际计算中，并不知道的具体表示，难以得到的形式或较精确的界限，因此也难以得到界。在实际计算中，可对误差运用下面的事后估计方法。
给出个插值节点，任选其中的个插值节点，不妨取，构造一个次插值多项式，记为。在个插值节点中另选个插值点，不妨取，构造一个次插值多项式，记为。由定理2可得到
（5.11）
（5.12）
设在插值区间内连续而且变化不大，有，则
从而可得到
（5.13）
（5.14）
拉格朗日插值多项式的算法
下面用伪码描述拉格朗日插值多项式的算法。
1：输入：插值节点控制数，插值点序列，要计算的函数点，及变量 。
2：FOR i ：=0，1，…，n //i控制拉格朗日基函数序列
{tmp：=1；
2.1 FOR j：=0，1，…，i-1，i+1，…，n
{ //对于给定，计算拉格朗日基函数
；
} // tmp表示拉格朗日基函数
2.2
}
3：输出的计算结果。