HDU 3600 Simple Puzzle 归并排序 N*N数码问题

先介绍八数码问题：

 

我们首先从经典的八数码问题入手，即对于八数码问题的任意一个排列是否有解？有解的条件是什么？

 

我在网上搜了半天，找到一个十分简洁的结论。八数码问题原始状态如下：

 

1 2 3

4 5 6

7 8

 

为了方便讨论，我们把它写成一维的形式，并以0代替空格位置。那么表示如下：

 

1 2 3 4 5 6 7 8 0

 

通过实验得知，以下状态是无解的（交换了前两个数字1 2）：

 

2 1 3 4 5 6 7 8 0

 

八数码问题的有解无解的结论：

 

一个状态表示成一维的形式，求出除0之外所有数字的逆序数之和，也就是每个数字前面比它大的数字的个数的和，称为这个状态的逆序。

 

若两个状态的逆序奇偶性相同，则可相互到达，否则不可相互到达。

 

由于原始状态的逆序为0（偶数），则逆序为偶数的状态有解。

 

也就是说，逆序的奇偶将所有的状态分为了两个等价类，同一个等价类中的状态都可相互到达。

 

简要说明一下：当左右移动空格时，逆序不变。当上下移动空格时，相当于将一个数字向前（或向后）移动两格，跳过的这两个数字要么都比它大（小），逆序可能±2；要么一个较大一个较小，逆序不变。所以可得结论：只要是相互可达的两个状态，它们的逆序奇偶性相同。我想半天只能说明这个结论的必要性，详细的证明请参考后面的附件。

 

 

>推广二维N×N的棋盘

 

我们先来看看4×4的情况，同样的思路，我们考虑移动空格时逆序的变化情况。

 

1 2 3 4

5 6 7 8

9 A B C

D E F

 

我们用字母A~F代替数字10~15。同样地，当左右移动的时候，状态的逆序不改变。而当上下移动的时候，相当于一个数字跨过了另外三个格子，它的逆序可能±3或±1，逆序的奇偶性必然改变。那么又该如何

 

1 2 3 4

5 6 7 8

9 A B

C D E F

 

可以证明，以上状态是一个无解的状态（将C移到了第四行）。该状态的逆序为0，和原始状态相同，但是它的空格位置在第三行。若将空格移到第四行，必然使得它的逆序±1或±3，奇偶性必然改变。所以它是一个无解的状态。

 

然而以下状态就是一个有解的状态（交换了前两个数字1 2）：

 

2 1 3 4

5 6 7 8

9 A B

C D E F

 

这个状态的逆序为1，和原始状态奇偶性不同，而空格位置在第三行。由于空格每从第三行移动到第四行，奇偶性改变。则该状态的可到达原始状态。

 

通过观察，得出以下结论：

 

N×N的棋盘，N为奇数时，与八数码问题相同。

 

N为偶数时，空格每上下移动一次，奇偶性改变。称空格位置所在的行到目标空格所在的行步数为空格的距离（不计左右距离），若两个状态的可相互到达，则有，两个状态的逆序奇偶性相同且空格距离为偶数，或者，逆序奇偶性不同且空格距离为奇数数。否则不能。

 

也就是说，当此表达式成立时，两个状态可相互到达：(状态1奇偶性==状态2奇偶性)==(空格距离%2==0)。

 

此结论只是由观察得知的，但是还没证明过，请高手指点。

 

另外再详细说明一下，无论N是奇数还是偶数，空格上下移动，相当于跨过N-1个格子。那么逆序的改变可能为一下值±N-1，±N-3，±N-5 …… ±N-2k-1。当N为奇数数时N-1为偶数，逆序改变可能为0；当N为偶数时N-1为奇数，逆序的改变不能为0，只能是奇数，所以没上下移动一次奇偶性必然改变。

 

 

>推广到三维N×N×N

 

其实，三维的结论和二维的结论是一样的。

 

考虑左右移动空格，逆序不变；同一层上下移动空格，跨过N-1个格子；上下层移动空格，跨过N^2-1个格子。

 

当N为奇数时，N-1和N^2-1均为偶数，也就是任意移动空格逆序奇偶性不变。那么逆序奇偶性相同的两个状态可相互到达。

 

当N为偶数时，N-1和N^2-1均为奇数，也就是令空格位置到目标状态空格位置的y z方向的距离之和，称为空格距离。若空格距离为偶数，两个逆序奇偶性相同的状态可相互到达；若空格距离为奇数，两个逆序奇偶性不同的状态可相互到达。

 

讨论到这里，题目问题也就解决了。

 

另外水木清华BBS论坛中有人提到：

 

8数码难题搜索时，有时候是无解的，8数码问题总共有9!种状态，如果用计算机一

个一个去搜索去判断哪些有解哪些误解，无疑要花费很长的时间，也没必要。作为一种

智力游戏，玩之余，我在想，能否通过事先的分析来判断哪些问题有解，哪些问题无解

呢？对于有解的问题，是否能通过一种固定的步骤来得到解？经过昨天晚上和今天的仔

细分析，我觉得我已经得到了这个问题的初步解答，下面我公布一下我得到的结果和证

明，抛砖引玉，如果大家发现其中有什么问题，欢迎来我宿舍一起讨论或者给我发Emai

l。

我的证明分好几个步骤，恳请大家能够耐心的看下去，我会尽量说得简洁一点。

 

一、我的结论

我们将九宫格按行排成一行共九个数(空格也占一个位置，在本文种，我用@表示空

格)。比如： 1 2 3 4 @ 5 ＝> 1 2 3 4 @ 5 6 7 8 6 7 8 这样

，九宫格的每一种状态和上图的行之间是一一对应的。在代数上册我们学过逆序的概念

，也就是对于任意一对数，如果前面的数比后面的数大，则为一对逆序。对于一个序列

，我们定义其逆序奇偶性如下： 如果其中有奇数对逆序，称之逆序奇；如果其中有

偶数对逆序，称之为逆序偶。这样，对于1，2，...，n这n个数，其所有的排列可以分为

两类，逆序奇类和逆序偶类。相对应的，九宫图(除去空格)也有它的奇偶性，我们的定

理是：

所有的奇九宫图之间是可达的，所有的偶九宫图之间也是可达的，但奇九宫图和偶

九宫图之间互不可达。

 

二、问题的转化

为了证明上述定理，我想先对问题进行一下转化。我定义两种行序列的变换：一种

是空格@和相邻的数对换，一种是空格@和前后隔两个数的数之间的对换，前者对应着空

格在九宫图中的左右移动，后者对应着空格在九宫图中的上下移动。

 

引理一：在上述的两种对换下，序列的奇偶性不改变。 这个引理很容易证明。

首先，相邻的对换肯定不改变奇偶性；其次，隔两格的对换也不改变奇偶性，它相当于

三个数的轮换，我们可以自己列举一下几种情况验证一下。这就说明了奇九宫图和偶九

宫图之间是互不可达的。

 

引理二：转化后行序列在上面定义的两种对换下的任意操作，可以转换成九宫图中

空格的合法变化。 这个引理也是比较容易证明的。我们只要证明如下的几种状态之

间是互达的： a b c a b @ a b c a b c @ d e <=>

c d e d e f <=> d e @ f g h f g h @ g h f

g h 通过计算机搜索，可以发现上面两对状态之间的确是互达的。从而，我们可以

假定上面两种状态之间的转换可以用行序列中的两种邻对换来代替。

想提一点的是，九宫图之间的变换是可逆的。下面，到了问题的核心部分了。

 

引理三：所有的奇状态可以转换为 @ 1 2 3 4 5 6 7 8, 所有的偶状态

可以转换为 @ 2 1 3 4 5 6 7 8. 要证明这个引理，得分几个步骤。我的想法是先设

法把8移到最后一个，然后8保持不动(注意，我们这里的不动只是形式上不动，但不管怎

样，我们的每一个变换后，8还是保持在最后一个，余类似)，再将7移到8之前，然后，

保持7和8不动，依次移动6，5，4，3，得到 * * * 3 4 5 6 7 8这里 * * *是 @ 1 2 的

一个排列。到这里，我想要得到前面的两种状态之一是显然的了。下面，我说明，上面

的想法是可以实现的。如下：

1. 对于 a b c @ ，我们可以将其中的任意一个移到

最后，并且对变换仅限于这四个位置上。显然，对于a，c是一步就可以做到的。对于b，

步骤如下： a b c @ -> @ b c a -> b @ c a -> b c @ a -> b c a @ -> @ c a b

2. 先把要移到最后位置的那个数移到最后四个位置之一，然后再将空格移到最后一

个位置，用1的方法将待移动的数变换到最后一个位置。循环这样做即可。 引理三证

毕。

 

证完了这三个引理，定理的成立就是显然的了。首先，将奇偶性相同的两种状态都

变换到上述两种标准状态之一，然后对其一去逆变换即可。以上是我的所有证明，有些

地方在计算机上写起来不是太清楚。

 

 

ps:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3600

 

 

#include <stdio.h>

int a[90010],b[90010],nxs;



void mergeSort(int first,int last)

{

    int mid,i;

    int begin,m,end;

    if(first+1<last)

    {

       mid=(first+last)/2;       

       //merge(first,mid,last);

       begin=first;

       m=mid;

       i=first;

       mergeSort(first,mid);

       mergeSort(mid,last);

       while(begin<mid && m<end)

       {

          if(a[begin]<=a[m])

          {

              b[i++]=a[begin++];          

          }

          else 

          {

              b[i++]=a[m++];             

              //for(i=beginA;i<=mid;i++)

                  //printf("nixuyou:%d,%d\n",a[i],a[beginB]);

              nxs+=mid-begin;     

          }                    

       }                  

       while(begin<mid)

       {

          b[i++]=a[begin++];            

       }

       while(m<last)

       {

          b[i++]=a[m++];             

       }

       /*for(i=0;i<j;i++)

       {

          a[first+i]=b[i];                

       }*/

       while(first<last)

       {

          a[first]=b[first++];                 

       }     

    }

}





int main()

{

   int n,sum,i,iwz,hangshu,hangshucha,panduanshu,j,x;

   while(scanf("%d",&n)==1 && n)

   {

        sum=n*n;

        j=0;

        for(i=0;i<sum;i++)

        {

            scanf("%d",&x);

            if(x==0)

            {   

                iwz=i;

            }        

            else

            {

                a[j]=x;

                j++;

            }

        }

        nxs=0;

        mergeSort(0,sum-1);

        //printf("nxs=%d\n",nxs);    

        if(n%2==1) //n为奇数

        {

              if(nxs%2==0)

                   printf("YES\n");

              else 

                   printf("NO\n");         

        }

        else //n为偶数

        {

             hangshu=iwz/n;

             hangshucha=n-1-hangshu;

             //printf("hangshucha=%d\n",hangshucha);

             panduanshu=nxs+hangshucha;

             if(panduanshu%2==0)

                   printf("YES\n");

              else 

                   printf("NO\n");      

        }                        

   } 

   return 0;    

}

 

 

//题解：八数码问题，逆序数



//代码：



#include<stdio.h>



#define SIZE_N 90010



int ary[2][SIZE_N];

int sum,len;



void reverseNum(int l,int h,int idx)

{

    int i,j,k;

    int mid,idxt;



    idxt = 1 - idx;

    if(l == h) {

        ary[1][l] = ary[0][l];

        return ;

    }

    mid = (l + h) / 2;

    reverseNum(l, mid, idxt);

    reverseNum(mid+1, h, idxt);

    for(i = j = l,k = mid+1;i <= mid && k <= h;) {

        if(ary[idx][i] < ary[idx][k]) {

            ary[idxt][j++] = ary[idx][i];

            sum += k - mid - 1;

            i ++;

        }

        else {

            ary[idxt][j++] = ary[idx][k];

            k ++;

        }

    }

    for(i;i <= mid;i ++) {

        ary[idxt][j++] = ary[idx][i];

        sum += h - mid;

    }

    for(k;k <= h;k ++) {

        ary[idxt][j++] = ary[idx][k];

    }

}



int main()

{

    int n;

    int i;



    while(scanf("%d",&n),n != 0) {

        len = n * n;

        for(i = 0;i < len;i ++) {

            scanf("%d",&ary[0][i]);

            if(ary[0][i] == 0) {

                if(!(n & 1)) {

                    sum = (n - i / n - 1);

                }

                else {

                    sum = 0;

                }

                i --;

                len --;

            }

        }

        if(n == 1) {

            puts("YES");

            continue;

        }

        reverseNum(0, len-1, 0);

        if(sum & 1) {

            puts("NO");

        }

        else {

            puts("YES");

        }

    }

    return 0;

}