电路课组（一）电路原理 Part 3 电阻和电源的等效变换

求解方法综述

电路分析中有很多典型而简单的分析方法，比如混联电路的分析、平衡电桥。但同时我们发现很多问题是不能简单地进行求解的，所以我们还要讨论一些网络等效的方法，包括网络的等效、电源等效，etc。

1. 电阻的串并联规律

1.1. 串联

对串联回路使用KVL，得到串联电阻的阻值：
$$R_s=\sum R_i$$
由Ohm定律，串联分压规律：
$$\frac{U_i}{R_i}=\frac{U_s}{R_s}$$

• 对于一个非独立电压源，考虑电路中串入一个内电阻。由分压规律，这个电阻越小，那么负载电压越大。

1.2. 并联

对并联节点使用KCL，可得并联的电导：
$$G_p=\sum G_k$$
由电导的Ohm定律，并联分流规律：
$$\frac{i_k}{i}=\frac{G_k}{G_p}$$

• 特别地，对于两个支路并联，支路电流占总电流比重等于对侧电阻占阻值之和的比重。
• 对一个非独立电流源，考虑电路中并入一个内电阻。由分流规律，这个电阻越大，那么负载电流越大。

1.3. 串并联简化方法($\ast$)

寻找直接串联或者并联在电源上的网络部分

这样的部分是一定存在的，只要是一个混连电路，最外层结构必然是一个串联或一个并联。

对其进行移动节点，或删除简化。对于一个确定的串并联混合电路，都可以通过这样的方法逐步实现问题的解析。

例题 求这个串并联网络的电阻：

• step 1：0.6串联
• step 2：6并联
• step 3：右边的４串联
• step 4：左边的４和２并联

2. 电桥和平衡电桥

由分压规律
$$U_A=\frac{R_2}{R_1+R_2}$$
$$U_B=\frac{R_4}{R_3+R_4}$$
如果$R_1{R}_4=R_2{R}_3$，那么AB两点是等电位点。从而中间连入的电阻没有电流通过。因而这个平衡电桥简化为简单的串并联结构。

平衡电桥可以认为是并联的串联，也可以看成串联的并联。

应用：利用是否有电流，可以测定位置电阻的阻值。

3. $Y-\Delta$(星-三角变换)：三角形网络

3.1. $Y-T$和$\Delta -\Pi$形

前者是三分岔（把线路垂直画出来就是T形），后者是在中间有一个回路（把线路垂直画出来，空出一条边就是$\Pi$形）。

3.2. 等效条件

经过一系列解方程，可以得到两种网络互相等效的条件。
助记法：
Y形几条代三角一条边，所以阻值小。转化为三角形时是相加。
三角形相反，转化为Y形是合起来相除。

3.2.1. $Y\to \Delta$：星接转角接

下标对应阻值相加+下标对应阻值相乘除以对边阻值
$$\{\begin{array}{l}{R}_{12}=R_1+R_2+\frac{R_1{R}_2}{R_3}\\ R_{23}=R_2+R_3+\frac{R_2{R}_3}{R_1}\\ R_{31}=R_3+R_1+\frac{R_3{R}_1}{R_2}\end{array}$$

3.2.2. $\Delta \to Y$:角接转星接

下标存在的两个阻值相乘除以总阻值
$$\{\begin{array}{l}{R}_1=\frac{R_{12}{R}_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\ R_2=\frac{R_{23}{R}_{12}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\ R_3=\frac{R_{31}{R}_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\end{array}$$

3.3. 应用：求解电桥电路($\ast$)

对于不能平衡的电桥，我们可以考虑将其中部分已知的三端网络进行$Y-\Delta$变换。随后化成可解的问题。

这个图中，1kΩ的四个电阻构成一个$\Delta$形（红框）和Y形（绿框）网络。
分别对应将其化为星接和角接如下：

红框中三个电阻都为1/3kΩ。

星接转角接：

此为一个电阻$R_8$并联一个平衡电桥。

4. 电源等效

4.1. 带受控源的网络阻值求解——加压求流和加流求压

使用“加压求流”和“加流求压”法。
这个方法的名字实际上是一句废话 就表明此方法的通解性。因为它体现了网络抽象+欧姆定律的综合使用的本质属性。相当于是定义法，即：
$$\begin{gathered} U=I\ast \square \\ I=U/\square \end{gathered}$$
这个思路也支持带有受控源的网络。

4.2. 理想独立源的串并联

首先要说明一点，就是独立源具有和我们的理想电路模型有等效对应。

• 独立电流源相当于无限大电阻，或断路
• 独立电压源相当于导线，或短路。

它们二者所提供的电压、电流可以认为是这两种理想模型的附加属性。

也就是说，独立电流源是一个“电流确定的断路支路”，独立电压源是一个“电压确定的导线”

4.2.1. 独立源的串联

独立电压源串联

独立电压源$U_{S1},U_{S2}\cdots U_{Sn}$串联，仍然相当于一条导线，其上短通性质并不改变，仍然为独立源。又由KVL可得其独立电压为$\sum U_{Si}$。

独立电压源和独立电流源串联

串联支路中，一断则断。因而性质等同于断路，为一个独立电流源

因为电压源的外电流已经因为电流源而确定

所以相当于对外性质没有变化的独立电流源。

另外，独立电压源在这里就相当于一个虚拟电阻，可以分担提供一部分电压，所以原来的独立电流源上电压会减小。
这个电压也是独立电压源唯一的作用。

4.2.2. 独立源的并联

独立电流源的并联

多个断路并在一起仍然不能导通，所以仍然是独立电流源。由KCL得$I_1,I_2\cdots I_n$

独立电压源和独立电流源的串联

并联中只要一个支路为短路，一短则短。故为电压源，并入一个电流源后端口性质不变。同样地，电流源的目的是提供一部分电流，电压源的电流减小。

但是，在这里电流源并不能相当于一个支路，因为其方向和电压源所能提供的电流方向是相反的。

4.3. 实际独立源的等效变换

实际独立电压源和电流源
$$\begin{gathered} u=U_s-R_{s}i \\ i=I_s-G_{s}u \end{gathered}$$
对比系数可得等效条件：
$$\{\begin{array}{l}{U}_s=I_s^{\prime }{R}_s\\ R_s=R_s^{\prime }\end{array}$$
含义：

1. $I_s$为电流源电流，$U_s$为电压源电压，$R_s$为待转化电源的内阻。
2. 它们的“内阻”（对于电压源来说是串联，电流源是并联）相等。

关于这种源等效的可行性：

• 实际独立电压源：随电流增大而电压被分走。
• 实际独立电流源：随电压增大而电流被分走。

也就是说，两种源的电流电压均呈线性负相关，尽管内部的改变机理不同，仍然奇妙地实现了相同的结果。

判断含源网络是否等效($\ast$)

• 删掉无效元件：串入电阻(电压源)对电流源没有影响，并入电阻(电流源)对电压源没有影响。
• 串并联操作：电源串联先转化成实际电压源结构。电源并联先转化成实际电流源结构。受控源也可以进行类似独立源的操作。
• 退字诀：复杂的情况还是要回到最初的伏安特性上去。

比如通过伏安特性我们就能验证，左边的支路就等效于一个电流源。

这和电流源串电压源的想法是一致的。因此我们最开始将串入的电压视作虚拟电阻是可行的。对总阻值没有影响，仅有的效果是分压。