电路复习——电路的等效变换

电路的等效变换

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主要内容

• 等效变换
• 电阻的等效变换
• 电源的等效变换

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等效变换

1 意义

• 一般而言，分析电路的基本方法是根据元件的伏安特性（VCR）和基尔霍夫定律（KVL、KCL）列出关于电压、电流的方程并求解。但是使用等效变换的思想，可以将电压电流的方程大大简化。
• 换个方向的思路，在求解电压、电流方程中进行的简化过程可以理解为在电路模型中进行等效变换的过程。

2 介绍

• 等效变换是一种先用一种网络代替另一种相等效的网络，再对网络进行分析计算的方法。
• 一般等效变换体现在对二段网络的端口特性中。具有两个端子的部分电路，称为二端网络，两个端子间的电压u和流经端子的电流i分别称为端口电压和端口电流，它们之间的关系称为端口的伏安特性，简称端口特性。
• 等效的本质即为两个二端网络的伏安特性相同。
• 等效仅对网络的外部电路而言，只能将端口电流和端口电压用于分析电路。

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电阻的等效变换

最常见的二端网络就是电阻的串联和并联，我们可以利用等效变换的思想来将任意多个电阻连接的复杂电路等效变换为一个具有某个阻值的电阻。

1 串联电阻

• 电阻首尾相连，流经同一个电流的连接方式称为电阻的串联。
• 假设某个二端网络中有$n$个电阻串联，其中第$j$个电阻的阻值为$R_j$，则对该二端网络进行分析，有$$u=\sum _{j=1}^{n}i{R}_j=i\sum _{j=1}^n{R}_j$$假设有等效电阻$R_{eq}$，使得$$u=i{R}_{eq}$$联立即可有$$R_{eq}=\sum _{j=1}^n{R}_j$$即在串联电路中的等效电阻为所串联的所有电阻之和。
• 利用这种思想可以得到串联电阻的分压公式$$u_k=R_{k}i=\frac{R_k}{{\sum }_{j=1}^n{R}_j}u$$电阻值越大，其能够在二端网络中分得的电压也就越多。

2 并联电阻

• 由若干个电阻两端分别连接在一起构成一个一端口网络，各电阻两端的电压相同，这种连接方式称为电阻的并联。
• 同样可以使用上述的思路来进行分析：假设某个二端网络中有$n$个电阻并联，其中第$j$个电阻的阻值为$R_j$，则对该二端网络进行分析有$$i=\sum _{j=1}^n\frac{u}{R_j}=u\sum _{j=1}^n{R}_j$$同样假设有等效电阻$R_{eq}$，令$$i=\frac{u}{R_{eq}}$$联立可得$$\frac{1}{R_{eq}}=\sum _{j=1}^n\frac{1}{R_j}$$即在并联电路中的等效电阻倒数为所并联的所有电阻倒数之和¹。

3 混联电阻

• 当电阻的连接中既有串联又有并联时，称为电阻串并联，简称混联。
• 对于混联电阻网络，可以看作为若干个电阻串联与并联的叠加，我们可以对局部串联和并联进行等效变换进行简化，直到整个混联电阻网络等效为一个电阻。
• 混联电阻网络的等效替换重点在于如何判断电阻的连接方式，以下有几种判别的方法：
  1. 若电阻是首尾相连的就是串联；若电阻是两端分别相连就是并联。
  2. 流经同一个电流的电阻串联；承受同一个电压的电阻就是并联。
  3. 对电路结构做适当的等效变形调整，使电阻的串联或并联清晰直观。
  4. 电路中的短路线可以任意压缩或伸长，多点接地可以用短路线相连。
  5. 注意区分哪些电阻是短接的或是开路的。
  6. 对于结构具有对称特点的电路，找出等电位点，可以用短路线将等电位点相连。也可以断开支路电流为零的支路。

4 电阻的星形联结与三角形联结

• 如果三个电阻的一端连接在一个电路结点，另一端分别连接于三个不同的电路端子上，这种连接方式称为电阻的星形联结，简称为T形联结。
• 如果三个电阻依次首尾相接，形成一个三角形闭环，由三个连接点分别引出三个接线端子，这种连接方式称为电阻的三角形联结，简称为$\pi$形联结。
  
  [三角形联结(左)与星形联结(右)]
• 在一定条件下，电阻的星形联结和三角形联结之间可以相互转换，该条件为：对应的端子流入或流出的电流一一相等，对应端子间的电压也一一相等。满足该条件后的两种联结中，任意两端之间的等效电阻一定相等。
• 为此我们可以通过使某一端子悬空的方式来求得两种等效替换的等效电阻。
• 假设任意一端子为a，其余两端子为b、c。当假设a端开路时，a、b两端间的等效电阻在星形联结和三角形联结中的相等，有$$R_b+R_c=R_{bc}//R_{ca}+R_{ab}$$根据该规律可以列出当b、c端子开路时的等式。
• 联立求解后，能够将结果归纳为：
  • $$三角形联结电阻=\frac{星形联结电阻两两乘积之和}{星形联结的不相邻电阻}$$
  • $$星形联结的电阻=\frac{三角形联结的相邻电阻的乘积}{三角形联结的电阻之和}$$
• 假若联结中三个电阻相等，则有以下的特殊关系：$$R_T=\frac{1}{3}{R}_{\pi }$$

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电源的等效变换

这里介绍了关于电源的等效变换，对于受控电源也是遵循着同样的规律，只要注意受控量不能被等效替换即可。

1 电压源的等效变换

1.1 电压源的串联等效

• 不失一般性，我们可以用实际电压源来进行分析；对于理想电压源，只需要令$R_s=0$即可。
• 假设有$n$个电压源串联在电路中，其中第$j$个电压源的电压值为$U_j$，对应的电阻值为$R_j$，对于整个二端口网络进行分析，有$$U=\sum _{j=1}^n{U}_j-I\sum _{j=1}^n{R}_j$$与实际电压源伏安特性公式$$U=U_s-I{R}_s$$进行比较，即可得到电压源的串联等效结果。
• 由公式可得，若干个电压源的串联可以等效为一个电压源，其电压值为$\sum U$，等效内阻为$\sum R$，即等效电压源的等效电压与内阻为若干个电压源的电压与电阻代数和。

1.2 电压源的并联等效

• 将不同电压的电压源进行并联会产生回路，可能会造成电源的剧烈发热，因此我们一般都会将相同电压的电压源进行并联。
• 相同电压源并联后的等效电压源依旧为电压值不变的电压源。
• 根据这个思想，当一个电压源并联上电流源、电阻或是其他电阻电路时，都可以等效为电压值不变的电压源，所并联的支路只影响电源的输出电流，并不影响其输出电压。

2 电流源的等效变换

2.1 电流源的并联等效

• 同样的，不失一般性，我们也可以用实际电流源来进行分析。
• 假设有$n$个电流源并联在电路中，其中第$j$个电流源的电流值为$I_j$，对应的电阻值为$R_j$。对于整个二端口网络进行分析，有$$I=\sum _{j=1}^n{I}_j+U\sum _{j=1}^n\frac{1}{R_j}$$
• 与实际电流源伏安特性相比较，可以得到若干个电流源的并联可以等效为一个电流源，其电流值为所有电流源电流值的代数和；其内阻的倒数等于所有电流源内阻的倒数和。

2.2 电流源的串联等效

• 将不同电流的电流源进行串联会产生高压，可能会把系统击穿。因此我们一般都只会将相同电流的电流源进行串联以得到更高的输出电压。
• 相同电流源串联后的等效电流源依旧是电流值不变的电流源。
• 根据这个思路，当理想电流源与其他任意元件或支路串联时，其他元件都不能影响其输出电流，只能影响其输出电压。

3 实际电源的等效

• 对于外电路来说，只要两个二端口网络的伏安特性相同即可认为这两个二端口网络等效。因此，只要某一实际电压源与某一实际电流源伏安特性相同，也是可以相互等效的。
• 假设某一实际电压源的伏安特性为$$U=U_s-I{R}_s$$某一实际电流源的伏安特性为$$I=I_s-\frac{U}{R_s^{\prime }}$$改变电流源伏安特性的样式，得到$$U=I_s{R}_s^{\prime }-I{R}_s^{\prime }$$联立两式，即可得$$R_s=R_s^{\prime }$$$$U_s=I_s{R}_s$$即两个等效电压的内阻相同，电压值与电流值满足欧姆定律。
• 要注意的是，该公式仅限于对实际电源成立，对于内阻为零的恒压源与内阻为无穷的恒流源来说无法进行等效替换。

4 多电源电路的等效

• 对于有多个不同大小不同类型的电源的二端网络，我们可以按照多电阻等效的思想来处理：将局部电源等效并合并，最终得到一个等效的电压源(电流源)。

多电源电路的等效

• 对于有多个不同大小不同类型的电源的二端网络，我们可以按照多电阻等效的思想来处理：将局部电源等效并合并，最终得到一个等效的电压源(电流源)。

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1. 一般我们可以用电导G来代替电阻的倒数，即$G=1/R$，不过在电路分析中更多的还是使用电阻 ↩︎