摘自 : http://spaces.ac.cn/archives/1777/
Part 1
首先来一个比较物理的理解:矩阵A描述了向量x到向量y的一个运动,即y=Ax ;但是,这仅仅是在直角坐标系下测量的,在一个新的坐标系P之下,假设测量结果为y ′ =Bx ′ 。
根据我们在前边给出的矩阵几何理解,在P坐标系下测量的x ′ ,在直角坐标系测量为x ,可以表示成Px ′ =x ;同理有Py ′ =y 。代入就得到:Py ′ =APx ′ ,可以稍稍改成Py ′ =P(P −1 AP)x ′ ,换句话说,在P坐标系下,从x ′ 到y ′ 的运动用矩阵B=P −1 AP 表示,这就是A的一个相似矩阵!所以说,一族相似矩阵,只不过是同一个线性变换在不同坐标系下的一个测量结果而已。
Part 2
其实,相似矩阵还有一个相对直观的几何立体模型。我们知道一个矩阵A由n个列向量组成,它实际上给出了n维空间的一个n维平行方体(类比二维的平行四边形和三维的平行六面体)。而矩阵I实际上给出了一个n维单位方体。假设他们两个存在某种对应关系。
而矩阵A在新坐标系P下的测量结果为P −1 A ,即A=P(P −1 A) ;而I在P的测量结果为I=P(P −1 ) ,也就是说,在新坐标系下,P −1 与P −1 A 具有对应关系。那么新坐标系下的单位方体对应什么呢?那就是
P −1 →P −1 P=I
P −1 A→P −1 AP
也就是说新坐标系下的单位方体对应着相似矩阵所描述的n维方体!
这压根儿就是配对原则嘛!
这就不难理解为什么相似矩阵的行列式值都相同了。行列式的几何意义就是体积,虽然矩阵A代表的立方体经过坐标变换后体积变了,但是单位方体的体积实则也变啦,也就是说,新坐标系下一切标度都变化了,但是从“数格子”的角度来说,格子数目是没有变化的,所以体积也就没有变化了。